Псевдодополнение

В математике решётка называется импликативной, если для каждых двух элементов a и b существует псевдодополнение a относительно b ($a\to b$), определяемое так:

$a\to b=\max\{c:a\cdot c\leqslant b\}$.

Аксиоматически импликативная решётка получается из обычной присоединением двух аксиом:

$a\cdot (a\to b)\leqslant b,\quad a\cdot c\leqslant b\Rightarrow c\leqslant (a\to b)$.

Частным случаем импликативных решёток являются псевдобулевы алгебры. Сами импликативные решётки являются частным случаем полугруппы с делением, в которой левому и правому делению $a\backslash b$ и $b/a$ соответствует одна операция $a\to b$.

Свойства

• Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент ($a\to a$), обычно обозначаемый как 1.
• Всякая импликативная решётка дистрибутивна.
• Для всех элементов $a$, $b$ и $c$ всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:

1. $a\leqslant b\Rightarrow b\to c\leqslant a\to c$;
2. $a\leqslant b\Rightarrow c\to a\leqslant c\to b$;
3. $a\leqslant b\to c\Rightarrow a\cdot b\leqslant c$;
4. $a\to b=1\Leftrightarrow a\leqslant b$;
5. $b\leqslant a\to b$;
6. $a\to b\leqslant ((a\to (b\to c))\to (a\to c))$;
7. $a\leqslant b\to a\cdot b$;
8. $a\to c\leqslant (b\to c)\to (a+b\to c)$.

Эти утверждения используются при доказательстве того, что псевдобулевы алгебры являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.

• $\nabla$ является фильтром импликативной решётки тогда и только тогда, когда $1\in \nabla$ и $(a\in \nabla ,a\to b\in \nabla )\Rightarrow b\in \nabla$.
• Пусть $A$ — импликативная решётка, $\nabla$ — фильтр, тогда факторрешётка $A/\nabla$ импликативна, а класс $\nabla$ будет максимальным элементом новой решётки.