Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Подведение под знак дифференциала

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (методу подстановки):

$\int f(x)dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx}}=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x}}};f(x)=v(u(x))$

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пример: «$I=\int F(x)\cdot d(x)$».

Решение: Сделаем подстановку «$x=\varphi (t)$», где «$\varphi (t)$» — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда: «$d(x)=\varphi '(t)\cdot d(t)$» — и, на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределённого интеграла, получаем формулу интегрирования подстановкой:

«$I=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\cdot d(t)$».

Интегрирование выражений вида «$\int \sin ^{m}(x)\cdot \cos ^{n}(x)\cdot d(x)$»

Выбор подстановки:

• Если «m» нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку «$\cos(x)=t$»;
• Если «n» нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку «$\sin(x)=t$»;
• Если же и «n», и «m» чётные — удобнее сделать подстановку «$\tan(x)=t$».

Пример: $I=\int \sin ^{2}(x)\cdot \cos(x)\cdot d(x)$.

Решение: Пусть $\sin(x)=t$; тогда $\cos(x)\cdot d(x)=d(t)$ и $I=\int t^{2}\cdot d(t)={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}(x)}{3}}+C$, где «C» — константа.

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.$

Или:

$\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.$

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

$\int P_{n+1}(x)e^{x}\,dx,$

где $P_{n+1}(x)$ — многочлен $(n+1)$-й степени.

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь ${\tfrac {P(x)}{Q(x)}}$, знаменатель которой разложен на множители

$Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{k_{i}}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{s_{j}}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k_{n}}{\frac {A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}+\sum _{l=1}^{m}{\sum _{t=1}^{s_{m}}{\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{t}}}}$

где $A_{ij},\alpha _{lt},\beta _{lt}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Примеры

Вычислить: $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)}}={\frac {\alpha }{(x-3)}}+{\frac {\beta }{(x+3)}}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

Следовательно ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases}},{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2}}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Тогда

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {\frac {3}{2}}{x-3}}+{\frac {\frac {1}{2}}{x+3}}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2}}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Интегрирование элементарных функций

Основная статья: Алгоритм Риша

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Ссылки

• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов