Точное нахождение первообразной (или интеграла ) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной . Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций .
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции , или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл
∫
F
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int F(x)dx.}
Сделаем подстановку
x
=
φ
(
t
)
,
{\displaystyle x=\varphi (t),}
где
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)}
— функция, имеющая непрерывную производную .
Тогда
d
x
=
φ
′
(
t
)
⋅
d
t
{\displaystyle dx=\varphi '(t)\cdot dt}
и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования
неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
∫
F
(
x
)
d
x
=
∫
F
(
φ
(
t
)
)
⋅
φ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.}
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида
v
(
u
(
x
)
)
{\displaystyle v(u(x))}
интегрируется следующим образом:
∫
v
(
u
(
x
)
)
d
x
=
∫
v
(
u
(
x
)
)
d
(
u
(
x
)
)
d
(
u
(
x
)
)
/
d
x
=
∫
v
(
u
(
x
)
)
d
(
u
(
x
)
)
u
x
′
.
{\displaystyle \int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx}}=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x}}}.}
Пример: Найти
∫
x
x
−
3
d
x
{\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}
Решение: Пусть
x
−
3
=
t
{\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}
, тогда
x
−
3
=
t
2
,
x
=
3
+
t
2
,
d
x
=
2
t
d
t
{\displaystyle x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt}
.
∫
x
x
−
3
d
x
=
∫
(
t
2
+
3
)
t
⋅
2
t
d
t
=
2
∫
(
t
4
+
3
t
2
)
d
t
=
2
∫
t
4
d
t
+
6
∫
t
2
d
t
=
2
5
t
5
+
6
3
t
3
+
C
=
2
5
(
x
−
3
)
5
+
2
(
x
−
3
)
2
+
C
{\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {(x-3)^{5}}}+2{\sqrt {(x-3)^{2}}}+C}
Интегрирование выражений вида
∫
sin
m
x
⋅
cos
n
x
⋅
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx}
Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки. Выбор подстановки производится следующим образом:
Если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку
cos
(
x
)
=
t
{\displaystyle \cos(x)=t}
;
Если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку
sin
(
x
)
=
t
{\displaystyle \sin(x)=t}
;
Если же и n , и m чётные — удобнее сделать подстановку
tan
(
x
)
=
t
{\displaystyle \tan(x)=t}
.
Пример:
I
=
∫
sin
2
x
⋅
cos
x
⋅
d
x
{\displaystyle I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx}
.
Решение: Пусть
sin
x
=
t
{\displaystyle \sin x=t}
; тогда
cos
x
⋅
d
x
=
d
t
{\displaystyle \cos x\cdot dx=dt}
и
I
=
∫
t
2
d
t
=
t
3
3
+
C
=
sin
3
x
3
+
C
{\displaystyle I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C}
, где C — любая константа.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
∫
u
⋅
d
v
=
u
⋅
v
−
∫
v
⋅
d
u
.
{\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.}
Или:
∫
u
⋅
v
′
⋅
d
x
=
u
⋅
v
−
∫
v
⋅
u
′
⋅
d
x
.
{\displaystyle \int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.}
В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл
∫
P
n
+
1
(
x
)
e
x
d
x
,
{\displaystyle \int P_{n+1}(x)e^{x}\,dx,}
где
P
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle P_{n+1}(x)}
— многочлен
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-й степени.
Интегрирование рациональных дробей
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}
, знаменатель которой разложен на множители
Q
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
i
)
k
i
⋅
∏
j
=
1
m
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
s
j
{\displaystyle Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{k_{i}}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{s_{j}}}
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
k
n
A
i
j
(
x
−
x
i
)
j
+
∑
l
=
1
m
∑
t
=
1
s
m
α
l
t
+
β
l
t
x
(
x
2
+
p
l
x
+
q
l
)
t
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k_{n}}{\frac {A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}+\sum _{l=1}^{m}{\sum _{t=1}^{s_{m}}{\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}
где
A
i
j
,
α
l
t
,
β
l
t
{\displaystyle A_{ij},\alpha _{lt},\beta _{lt}}
— некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов .
Примеры
Вычислить:
∫
2
x
+
3
x
2
−
9
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.}
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
2
x
+
3
x
2
−
9
=
2
x
+
3
(
x
−
3
)
(
x
+
3
)
=
α
(
x
−
3
)
+
β
(
x
+
3
)
{\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)}}={\frac {\alpha }{(x-3)}}+{\frac {\beta }{(x+3)}}}
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
α
(
x
+
3
)
+
β
(
x
−
3
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle \alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3}
(
α
+
β
)
x
+
3
α
−
3
β
=
2
x
+
3
{\displaystyle (\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3}
Следовательно
{
α
+
β
=
2
3
α
−
3
β
=
3
,
{
α
=
3
2
β
=
1
2
{\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases}},{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2}}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}}
Тогда
2
x
+
3
x
2
−
9
=
3
2
x
−
3
+
1
2
x
+
3
{\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {\frac {3}{2}}{x-3}}+{\frac {\frac {1}{2}}{x+3}}}
Теперь легко вычислить исходный интеграл
∫
2
x
+
3
x
2
−
9
d
x
=
3
2
∫
d
x
x
−
3
+
1
2
∫
d
x
x
+
3
=
3
2
ln
|
x
−
3
|
+
1
2
ln
|
x
+
3
|
+
C
=
1
2
ln
|
(
x
−
3
)
3
(
x
+
3
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2}}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C}
Интегрирование элементарных функций
Основная статья:
Алгоритм Риша
Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры .
См. также
Ссылки