Парадокс кинетической энергии

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики. Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию $W$. Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости $v$. Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью $v$. С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна $v$ и кинетическая энергия равна $W$. Скорость игрушки после разгона равна $2v$ и кинетическая энергия $4W$. Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на $3W$, что превышает запас энергии в пружине $W$.

Объяснение парадокса

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $mv+MV=0$, где $m$ — масса игрушки, $v$ — скорость игрушки, $M$ — масса Земли, $V$ — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$. Выражая скорость Земли $V$ из уравнения $mv+MV=0$ и подставляя в уравнение $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$, получим $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$.

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью $v$. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$, где $V_{1}$ — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}$. Выразим скорость Земли $V_{1}$ из уравнения $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ и подставим в уравнение $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}$. Получим $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}})^{2}v^{2}-v^{2}\right]$. После простых преобразований получим $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$. То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины $W$.

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю.

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны $v$, кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта.

Литература

• Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев. Физика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1989. — 464 с. — ISBN 5-02-014057-0.