Парадокс кинетической энергии

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Внутренний двигатель

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию $W$. Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости $v$. Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью $v$. С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна $v$ и кинетическая энергия равна $W$. Скорость игрушки после разгона равна $2v$ и кинетическая энергия $4W$. Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на $3W$, что превышает запас энергии в пружине $W$.

Объяснение парадокса

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $mv+MV=0$, где $m$ — масса игрушки, $v$ — скорость игрушки, $M$ — масса Земли, $V$ — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$. Выражая скорость Земли $V$ из уравнения $mv+MV=0$ и подставляя в уравнение $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$, получим $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$.

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью $v$. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$, где $V_{1}$ — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}$. Выразим скорость Земли $V_{1}$ из уравнения $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ и подставим в предыдущее уравнение. Получим $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left(\left(1-{\frac {m}{M}}\right)^{2}v^{2}-v^{2}\right).$ После простых преобразований получим $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$. То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины $W$.

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю.

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны $v$, кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта.

Внешняя сила

Рассмотрим тело массой $m$ движущееся со скоростью $v_{1}$. Пусть на это тело в течение некоторого времени $t$ действует постоянная сила $F$, направленная по той же прямой, что и скорость $v_{1}$. Она изменяет скорость тела от значения $v_{1}$ до значения $v_{2}$. В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$.

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью $v$, направленной по той же прямой, что и скорость $v_{1}$. В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно ${\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})$, то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея.

Объяснение парадокса

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs$. Здесь $s$ — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с $v_{1}$ до $v_{2}$. Так как тело движется с ускорением ${\frac {F}{m}}$, то $s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$.

Во второй системе ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}$. Здесь $s_{1}$ — длина пути, пройденного телом во второй системе $s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$. Итак, $s-s_{1}=vt$. Так как ${\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}$, то $t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}},s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1})}{F}}$. Таким образом $F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})$.

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен.

См. также

• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

Литература

• Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев. Физика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1989. — 464 с. — ISBN 5-02-014057-0.
• Throwing a Ball from a Moving Car  (англ.) // Mark Levi. Why Cats Land on Their Feet. Princeton University Press, 2012. С. 74-76.