Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогда множество $A$ называется плотным во множестве $B,$ если любая окрестность любой точки $B$ содержит хотя бы одну точку из $A$, то есть

$\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T}}\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A\neq \emptyset {\bigr )}.$

• Множество $A$ называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда замыкание $A$ содержит $B,$ то есть ${\bar {A}}\supset B.$ В частности, $A$ всюду плотно, если ${\bar {A}}=X.$
• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$ не пересекается с $B,$ то есть $\left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset .$ В частности, $A$ всюду плотно, если $\left(A^{\complement }\right)^{0}=\emptyset .$

Примеры

• Любое множество плотно в себе.
• Множество рациональных чисел $\mathbb {Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb {R} .$

См. также

• Нигде не плотное множество;
• Сепарабельное пространство.