Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

Функция $f\left(x\right)$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое $\delta >0$, что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов $\left(x_{i},y_{i}\right)$ области определения функции $f$, который удовлетворяет условию $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$, выполнено неравенство $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$.

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства

• Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.

• Абсолютно непрерывные функции образуют линейное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.

• Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.

• Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.

• Пусть $F$ абсолютно непрерывная функция на $[a,b]$. Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная $F'$ интегрируема по Лебегу и для всех $x\in [a,b]$ выполняется равенство:

  $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$.

• Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.

• Если функция $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $F(y)$ абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения $f(x)$, то для того, чтобы суперпозиция $F[f(x)]$ была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).

• Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.
• Вариация $V_{a}^{x}(f)$ абсолютно непрерывной функции $f$ является абсолютно непрерывной.
• Пусть $f$ и $g$ абсолютно непрерывны на $[a,b]$, тогда для них справедлива классическая формула интегрирования по частям.
• Пусть $f$ дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,b]$ (важно! что именно в каждой точке), причем $f'$ интегрируема на $[a,b]$ в смысле Лебега, тогда $f$ абсолютно непрерывна.

Примеры

• Любая липшицева функция является абсолютно непрерывной.

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

• функция Кантора;
• функция

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}$

на конечных интервалах, содержащих 0;

• функция $f(x)=x^{2}$ на неограниченных интервалах.

См. также

• Свойство Лузина
• Теорема Фихтенгольца

Литература

• Никольский С.М. Курс математического анализа. — 3-е. — М.: Наука, 1983. — Т. 2. — 544 с. — ISBN 5-02-014425-8.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.