Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

Примеры

• Непустое подмножество $L'\subset L$ векторного (линейного) пространства $L$ над полем $F$ является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов $x,y\in L'$ сумма $x+y\in L'$ и для всякого вектора $x\in L'$ и любого $\alpha \in F$ вектор $\alpha x\in L'$. В частности, подпространство $L'$ обязательно содержит нулевой вектор пространства $L$ (он также является нулевым вектором пространства $L'$).

• Векторное подпространство $L'\subset L$ называется собственным подпространством, если $L'\neq L$ и $L'$ содержит хотя бы один ненулевой вектор.

• Векторное подпространство $L'\subset L$ называется инвариантным подпространством линейного отображения $A:L\to L$, если $A(L')\subset L'$, то есть $A(x)\in L'$ для любого вектора $x\in L'$. Если $\lambda$ — собственное значение отображения $A$, то все векторы $e\in L$, удовлетворяющие соотношению $A(e)=\lambda e$ (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения $A$. Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению $\lambda$.

• Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным.

• Подпространство $M'\subset M$ метрического пространства $M$ с метрикой $\rho$ обладает индуцированной метрикой $\rho '$, которая определена формулой $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ для любых $x,y\in M'$.

• Подпространство $T'\subset T$ топологического пространства $T$ с топологией $\tau$ обладает индуцированной топологией $\tau '$, открытыми множествами в которой являются множества $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$, где $G_{\tau }$ — всевозможные открытые множества в топологии $\tau$.

• Пусть $P=P(L)$ — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства $L$, и $L'\subset L$ — векторное подпространство. Тогда проективное пространство $P'=P(L')\subset P$ является проективным подпространством.