Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm {W} (k,\lambda )$
Параметры	$\lambda >0$ - коэффициент масштаба, $k>0$ - коэффициент формы
Носитель	$x\in [0;+\infty )$
Плотность вероятности	$(k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Функция распределения	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Математическое ожидание	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$
Медиана	$\lambda (\ln 2)^{1/k}\,$
Мода	${\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},$ для $k>1$
Дисперсия	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \Gamma (1+{\frac {2}{k}})\lambda ^{2}+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$
Дифференциальная энтропия	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
Производящая функция моментов	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1$
Характеристическая функция	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f_{X}(x)$, имеющей вид:

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..$

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$.

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

• k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
• k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
• k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Свойства

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при $x\to 0+$ и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при $x\to 0+$ и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при $x\to 0+$, возрастает до достижения своей моды и убывает после. Плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При $k\to \infty$ распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения

Функция распределения Вейбулла:

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$

при x ≥ 0, и F(x; k; λ) = 0 при x < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

$Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}$

при 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h:

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

Моменты

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

$\mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right),$

где Γ — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

$\mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).$

Моменты случайной величины $X$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$, где $\Gamma$ — гамма-функция,

откуда

$\mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$,

$\mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]$.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

$\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

Коэффициент эксцесса

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}},$

где $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$, так же может быть записан:

$\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

Производящая функция моментов

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой $X$

$\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

Так же можно работать непосредственно с интегралом

$\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.$

Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически. С заменой t на -t, получается

$\mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right),$

где G — это G-функция Мейера.

Информационная энтропия

Информационная энтропия задаётся таким образом

$H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1,$

где $\gamma$ — это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов

Наибольшее правдоподобие

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента $\lambda$

${\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}$

Для $k$

${\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}$

Условная функция надёжности Вейбулла

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

$R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}$

или

$R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}\right]}$

Для 3-х параметрического:

$R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}$

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё $t$ времени при условии, что он уже проработал $T$.

График Вейбулла

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — $\ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))$ и $\ln(x)$ Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

${\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}$

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя ${\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$, где $i$ — это ранг точки данных, а $n$ — это общее количество точек.

Использование

Распределение Вейбулла используется:

• В анализе выживаемости
• В надёжности и анализе отказов
• В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях
• В промышленной инженерии
• В теории экстремальных значений

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей

• В прогнозировании погоды
  • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
• В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами помех
• В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
• В прогнозировании технологических изменений
• В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
• В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
• Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями

• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}$

где $x\geq \theta$ и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где $k>0$ — коэффициент формы, $\lambda >0$ — коэффициент масштаба и $\theta$ — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

• 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая $\theta =0$ и $k=C=Constant$:

$f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}$

• Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального.

Если $X$ — экспоненциальное распределение $\operatorname {Exp} (\lambda )$ для параметра $\lambda$, то случайная величина $Y=X^{1/k}~(k>0)$ имеет распределение Вейбулла $\operatorname {W} (\lambda ^{1/k},k)$. Для доказательства рассмотрим функцию распределения $Y$:

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0$

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

• Метод обратного преобразования: если $U\sim \mathrm {U} (0,1)$, то

$\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$.

• С распределением Фреше: если $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)$ , то ${\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)$.
• С распределением Гумбеля: если $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}$ , то $\log(X)\sim {\textrm {Gumbel}}$.
• Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при $k=2$ и $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений
• Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте

функция распределения имеет вид

$f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

где

$x$: Размер частицы

$P_{\rm {80}}$: 80-й процентиль распределения размера частиц

$m$: Коэффициент, описывающий размах распределения

Литература

• Fréchet, Maurice (1927), "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie, 6: 93—116.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
• Muraleedharan, G.; Rao, A.D.; Kurup, P.G.; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), "Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction", Coastal Engineering, 54 (8): 630—638, doi:10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• Muraleedharan, G.; Soares, C.G. (2014), "Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Pareto (GP3) and Weibull Distributions", Journal of Scientific Research and Reports, 3 (14): 1861—1874, doi:10.9734/JSRR/2014/10087.
• Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel, 7: 29—36.
• Sagias, Nikos C.; Karagiannidis, George K. (2005), "Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels" (PDF), Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, 51 (10): 3608—3619, doi:10.1109/TIT.2005.855598, ISSN 0018-9448, MR 2237527 (недоступная ссылка)
• Weibull, W. (1951), "A statistical distribution function of wide applicability" (PDF), J. Appl. Mech.-Trans. ASME, 18 (3): 293—297.
• Engineering statistics handbook  (неопр.). National Institute of Standards and Technology (2008).
• Nelson, Jr, Ralph Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution  (неопр.) (5 февраля 2008). Дата обращения: 5 февраля 2008. Архивировано 13 февраля 2008 года.
• Левин Б.Р. Справочник по надежности. — Справочник по надежности/Под ред. Левина Б.Р., в 3 томах, Т.1. М.: Мир, 1969 г., 339 с.. — М.: Мир, 1969. — С. 176. — 339 с.
• J. Cheng, C. Tellambura, and N. C. Beaulieu Performance analysis of digital modulations on Weibull fading channels / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004.

Ссылки

• Примеры графиков функции распределения Вейбулла (англ.)
• Распределение Вейбулла (англ.)
• Weibull Distribution (англ.)
• Построение графиков распределения Вейбулла в excel (рус.)