Распределение variance-gamma

Распределение variance-gamma
Параметры	$\mu$ (вещественное число) $\alpha$ (вещественное число) $\beta$ коэффициент асимметрии (вещественное число) $\lambda >0$ $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0$
Носитель	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {\gamma ^{2\lambda }|x-\mu |^{\lambda -1/2}K_{\lambda -1/2}\left(\alpha |x-\mu |\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\lambda )(2\alpha )^{\lambda -1/2}}}\;e^{\beta (x-\mu )}$ $K_{\lambda }$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода $\Gamma$ обозначает Гамма-функцию
Математическое ожидание	$\mu +2\beta \lambda /\gamma ^{2}$
Дисперсия	$2\lambda (1+2\beta ^{2}/\gamma ^{2})/\gamma ^{2}$
Производящая функция моментов	$e^{\mu z}\left(\gamma /{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}\right)^{2\lambda }$

Распределение variance-gamma — распределение вероятностей, является нормальной смесью дисперсии-среднего, в которой в качестве взвешивающей плотности взята плотность гамма-распределения. Распределение обладает «тяжелыми хвостами» (тяжелее, чем у нормального распределения), поэтому подходит для моделирования ситуаций в которых появление больших значений случайной величины более вероятно. Примерами могут служить прибыль финансовых активов и скорости турбулентных воздушных потоков. Семейство распределений variance-gamma является подклассом обобщенных гиперболических распределений.

Обобщение

Обобщением распределения variance-gamma является обобщённое гиперболическое распределение.