Задание группы

Задание группы в теории групп — один из методов определения группы указанием порождающего множества $S$ и множества соотношений между порождающими $R$. В этом случае говорят, что группа $G$ имеет задание $\langle S\mid R\rangle$.

Неформально, $G$ имеет такое задание, если она «наиболее свободна» из всех групп, порождаемых $S$ и подчиняющимся соотношениям между элементами $S$ из $R$. Более формально, группа $G$ изоморфна факторгруппе свободной группы, порождённой $S$, по нормальному замыканию множества соотношений $R$.

Каждая группа имеет задание и, более того, — много различных заданий; задание, зачастую, это наиболее компактный способ определения группы.

Задания группы изучает специальный раздел теории групп — комбинаторная теория групп.

Самым простым примером задания группы является задание циклической группы порядка $n$:

$\langle a\mid a^{n}\rangle .$

Это означает, что любой элемент группы можно записать как степень $a$ и при этом $a^{n}$ является нейтральным элементом группы.

Связанные определения

• Конечно заданная группа (или конечно определённая группа) — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.
• Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих. Каждая конечно заданная группа является конечнопорождённой.
• Минимальная мощность множества образующих $S$ называется рангом группы.
  • $p$-рангом группы называется наибольший ранг её подгруппы, являющейся $p$-примарной абелевой группой.

Терминология

Термин «задание» не является абсолютно общеупотребительным. В некоторых книгах используется термин «(генетический) код группы». Также можно встретить понятие «представление группы» в обсуждаемом здесь смысле , оно может считаться переводом англ. group presentation, однако является двусмысленным, так как термин представление группы (англ. group representation) широко распространён для так называемых линейных представлений групп — последние никак не связаны с заданием и, более того, в каком-то смысле противоположны ему.

Имея в виду последнее, задание также иногда называют «копредставлением». Вернее, копредставлением может называться упомянутый выше изоморфизм факторгруппы свободной группы в рассматриваемую группу $G$. Приставка «ко-» указывает на дуальность этого изоморфизма по отношению к представлению группы, «когда, наоборот, гомоморфизм строится не „в“ G, а „из“ G в некоторую [хорошо изученную] группу линейных операторов, перестановок и т. п.».

Свойства

Имеет место теорема о том, что произвольная группа является факторгруппой подходящей свободной группы по некоторой нормальной подгруппе, так что любая группа обладает заданием. Задание не обязано быть единственным. Доказать или опровергнуть, что два задания определяют одну и ту же группу, сложно (старое название проблемы — одна из проблем Дэна). В общем случае эта проблема алгоритмически неразрешима. Существует несколько классов групп, для которых построен алгоритм решения этой проблемы. Перейти от одного задания группы к другому позволяют преобразования Титце четырёх типов: первое преобразование Титце — это добавление в множество соотношений нового соотношения, выводимого из старых; второе преобразование Титце — это ввод новой переменной, выраженной через старые; третье и четвёртое преобразования Титце обратны первому и второму соответственно. Ввиду алгоритмической неразрешимости проблемы, поиск цепочки преобразований Титце одного представления в другое является своего рода искусством.

По заданию группы также сложно определить и другие свойства группы, например её порядок или подгруппу кручения.

Примеры

В следующей таблице перечислены способы задания некоторых часто встречающихся групп. В каждом случае существуют и другие возможные задания.

Группа	Задание	Пояснения
Свободная группа на S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что она не ограничивается никакими соотношениями.
Zn — циклическая группа порядка n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
Dn — группа диэдра порядка 2n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ или $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r обозначает поворот, s — симметрию
D∞ — бесконечная диэдральная группа	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Группа кватернионов Q8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle$ или $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Обобщённая группа кватернионов Q4n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$
свободная абелева группа на S	$\langle S\mid R\rangle$	R — множество всех коммутаторов элементов S
Симметрическая группа Sn	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$ или $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$	σi — транспозиция, меняющая местами i-й элемент с i+1-м.
Группа кос Bn	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$	Единственное отличие от симметрической группы — исчезновение соотношений $\sigma _{i}^{2}=1$.
Знакопеременная группа An	$\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
Группа вращений тетраэдра, T ≅ A4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Группа вращений октаэдра, O ≅ S4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Группа вращений икосаэдра, I ≅ A5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Группа Коксетера	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	rn — отражения в гранях многогранника, $m_{ii}=1$ и $m_{ij}\geqslant 2$ при $i\neq j$, $m_{ij}=\infty$ — если грани не образуют двугранного угла в многограннике
Группа треугольника Δ(l,m,n)	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle$	a, b, c — отражения
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z/mZ × Z/nZ	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z)	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z)	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Модулярная группа PSL(2, Z)	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z) — свободное произведение Z/2Z и Z/3Z
Группа Титса F4(2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[a, b] — коммутатор

См. также

• Свободная группа