Группа кватернионов
В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы
где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы.
Граф Кэли
[править | править код]Группа Q8 имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа D4[англ.], но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:
Граф Кэли | Граф циклов | ||
---|---|---|---|
Q8 Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j. |
D4 Диэдрическая группа |
Q8 |
Dih4 |
Диэдрическая группа D4 получается из сплит-кватернионов[англ.] таким же образом, что и Q8 из кватернионов.
Таблица Кэли
[править | править код]Таблица Кэли (таблица умножения) для Q[1]:
Q×Q | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
−1 | −1 | 1 | −i | i | −j | j | −k | k |
i | i | −i | −1 | 1 | k | −k | −j | j |
−i | −i | i | 1 | −1 | −k | k | j | −j |
j | j | −j | −k | k | −1 | 1 | i | −i |
−j | −j | j | k | −k | 1 | −1 | −i | i |
k | k | −k | j | −j | −i | i | −1 | 1 |
−k | −k | k | −j | j | i | −i | 1 | −1 |
Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве.
Свойства
[править | править код]Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой.[2] Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.[3]
Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов.
Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы Q[4], показывающее это:
Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy.
Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S4, симметрической группе четырёх букв. Группой внешних автоморфизмов[англ.] группы Q является S4/V, которая изоморфна S3.
Матричное представление
[править | править код]Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL2(C). Представление
определяется матрицами[5]
Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL2(C).
Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F3. Представление
определяется матрицами
где {−1,0,1} — три элемента поля F3. Поскольку определитель всех матриц над полем F3 равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.
Группа Галуа
[править | править код]Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена
над Q.
Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.[6]
Обобщённая группа кватернионов
[править | править код]Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание [4]
для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q4n и имеет порядок 4n.[7] Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай бинарной полиэдральной группы[англ.] <l,m,n>, связанной с полиэдральными группами[англ.] (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL2(C), порождённой элементами
- и
где ωn = eiπ/n[4]. Она также изоморфна группе, порождённой [8] кватернионами x = eiπ/n и y = j.
Теорема Брауэра — Сузуки[англ.] утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.
См. также
[править | править код]- Бинарная группа тетраэдра
- Алгебра Клиффорда
- Дициклическая группа
- Кватернион Гурвица
- Список групп малого порядка
- Шестнадцатиячейник
Примечания
[править | править код]- ↑ См. также a table таблицу Архивная копия от 28 апреля 2018 на Wayback Machine на сайте Wolfram Alpha
- ↑ См. книгу Холла (1999), p. 190 Архивная копия от 6 августа 2021 на Wayback Machine
- ↑ Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — С. 57.
- ↑ 1 2 3 Johnson, 1980, с. 44-45.
- ↑ Artin, 1991.
- ↑ Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly 88 (1): 42–45. .
- ↑ Некоторые авторы (например, Rotman, 1995, pp. 87, 351) называют эту группу дициклической группой, оставляя название обобщённая группа кватернионов для случая, когда n является степенью двойки.
- ↑ Brown, 1982, с. 98.
Литература
[править | править код]- Michael Artin. Algebra. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-13-004763-2.
- Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1.
- Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homological Algebra. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5.
- Richard A. Dean. A rational polynomial whose group is the quaternions // American Mathematical Monthly. — 1981. — С. 88:42–5.
- D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.
- David L. Johnson. Topics in the theory of group presentations. — Cambridge University Press, 1980. — ISBN 978-0-521-23108-4.
- Joseph J. Rotman. An introduction to the theory of groups. — 4. — Springer-Verlag, 1995. — ISBN 978-0-387-94285-8.
- P.R. Girard. The quaternion group and modern physics // European Journal of Physics. — 1984. — С. 5:25–32.
- Marshall Hall. The theory of groups. — 2. — AMS Bookstore, 1999. — ISBN 0-8218-1967-4.
- Alexander G. Kurosh. Theory of Groups. — AMS Bookstore, 1979. — ISBN 0-8284-0107-1.
Внешние ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Quaternion group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.