Алгебра множеств
Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).
Определение
[править | править код]Семейство подмножеств множества (здесь — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- Если множество , то и его дополнение
- Объединение двух множеств также принадлежит
Замечания
[править | править код]- По определению, если алгебра содержит множество , то она содержит и его дополнение. Объединением с его дополнением является исходное множество . Дополнением к множеству является пустое множество. Это означает, что множество и пустое множество содержится в алгебре по определению.
- В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
- Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
- Если исходное множество является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Алгебра событий
[править | править код]Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
- алгебра конечных подмножеств ;
- сигма-алгебра счётных подмножеств ;
- алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов;
- сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;
- алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.
Событие или , заключающееся в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно, называется суммой событий и .
Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где .
Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — изд. 7-е, стереотипное. — М.: МЦНМО, 2015. — 568 с.
- Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа. — СПб.: Политехника, 2020. — 141 с.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.
{rq|refless|sources}