Алгебра множеств

Эта статья — о поле множеств. Об алгебраической системе, независимой от теории множеств см. Алгебра множеств (по Куранту и Роббинсу).

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества $X$, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение

Семейство ${\mathfrak {A}}\subset 2^{X}$ подмножеств множества $X$ (здесь $2^{X}$ — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $\varnothing \in {\mathfrak {A}}.$
2. Если множество $A\in {\mathfrak {A}}$, то и его дополнение $X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.$
3. Объединение двух множеств $A,B\in {\mathfrak {A}}$ также принадлежит ${\mathfrak {A}}.$

Замечания

• По определению, если алгебра содержит множество $A$, то она содержит и его дополнение. Объединением $A$ с его дополнением является исходное множество $X$. Дополнением к множеству $X$ является пустое множество. Это означает, что множество $X$ и пустое множество содержится в алгебре по определению.
• В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество $X$ является пространством элементарных событий, то алгебра ${\mathfrak {A}}$ называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $\Omega$, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств $\Omega$;
• сигма-алгебра счётных подмножеств $\Omega$;
• алгебра подмножеств ${\mathbb {R} }^{n}$, образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства $\Omega$, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $\Omega$;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Событие $A+B$ или $A\cup B$, заключающееся в том, что из двух событий $A$ и $B$ происходит по крайней мере одно, называется суммой событий $A$ и $B$.

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности $\mathbb {P}$, то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где $\mathbb {P} (\Omega )=1$.

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

• Кольцо множеств
• Аксиоматика Колмогорова
• Событие (теория вероятностей)

Литература

• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — изд. 7-е, стереотипное. — М.: МЦНМО, 2015. — 568 с.
• Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа. — СПб.: Политехника, 2020. — 141 с.
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.

{rq|refless|sources}