Алгоритмы быстрого возведения в степень

Алгоритмы быстрого возведения в степень (дихотомический алгоритм возведения в степень, бинарный алгоритм возведения в степень) — алгоритмы, предназначенные для возведения числа $x$ в натуральную степень $n$ за меньшее число умножений, чем это требуется в определении степени. Многие из этих алгоритмов основаны на том, что для возведения числа $x$ в степень $n$ не обязательно перемножать число $x$ на само себя $n$ раз, а можно перемножать уже вычисленные степени. В частности, если $n=2^{k}$ степень двойки, то для возведения в степень $n$ достаточно число возвести в квадрат $k$ раз, затратив при этом $k$ умножений вместо $2^{k}$. Например, чтобы возвести число $x$ в восьмую степень, вместо выполнения семи умножений $x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x$ можно возвести число в квадрат ($x^{2}=x\cdot x$), потом результат возвести ещё раз в квадрат и получить четвёртую степень ($x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}$), и наконец результат ещё раз возвести в квадрат и получить ответ ($x^{8}=x^{4}\cdot x^{4}$).

Кроме того, некоторые алгоритмы для дальнейшей оптимизации используют тот факт, что операция возведения в квадрат быстрее операции умножения за счёт того, что при возведении в квадрат цифры в сомножителе повторяются.

Бинарный алгоритм возведения в степень был впервые предложен в XV веке персидским математиком Аль-Каши.

Данные алгоритмы не всегда оптимальны. Например, при использовании схемы «слева направо» быстрое возведение в степень n = 15 потребует выполнения трёх операций умножения и трёх операций возведения в квадрат, хотя возведение в 15-ю степень можно выполнить и за 3 умножения и 2 возведения в квадрат. Оптимальное возведение в степень соответствует построению кратчайшей аддитивной цепочки.

Описание

Основным алгоритмом быстрого возведения в степень является схема «слева направо». Она получила своё название вследствие того, что биты показателя степени просматриваются слева направо, то есть от старшего к младшему.

Пусть

$n=({\overline {m_{k}m_{k-1}...m_{1}m_{0}}})_{2}$ — двоичное представление степени n, то есть,

$n=m_{k}\cdot 2^{k}+m_{k-1}\cdot 2^{k-1}+\dots +m_{1}\cdot 2+m_{0},$

где $m_{k}=1,m_{i}\in \{0,1\}$. Тогда

$x^{n}=x^{((\dots ((m_{k}\cdot 2+m_{k-1})\cdot 2+m_{k-2})\cdot 2+\dots )\cdot 2+m_{1})\cdot 2+m_{0}}=((\dots (((x^{m_{k}})^{2}\cdot x^{m_{k-1}})^{2}\dots )^{2}\cdot x^{m_{1}})^{2}\cdot x^{m_{0}}$.

Последовательность действий при использовании данной схемы можно описать так:

1. Представить показатель степени n в двоичном виде
2. Если $m_{i}$ = 1, то текущий результат возводится в квадрат и затем умножается на x. Если $m_{i}$ = 0, то текущий результат просто возводится в квадрат. Индекс i изменяется от k-1 до 0.

Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы Горнера:

${\begin{Bmatrix}s_{1}=x\\s_{i+1}=s_{i}^{2}\cdot x^{m_{k-i}}\\i=1,2,\dots ,k\end{Bmatrix}}.$

Обобщения

Пусть пара (S, *) — полугруппа, тогда мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

$a^{n}=\left\{{\begin{array}{ll}a&n=1\\a*\left(a^{n-1}\right)&n>1\end{array}}\right.$

Тогда для вычисления значений aⁿ в любой полугруппе (в абелевой группе в частности) можно использовать алгоритмы быстрого возведения в степень.

Примеры решения задач

Применяя алгоритм, вычислим 21¹³:

$13_{10}=1101_{2}$

$m_{3}=1,m_{2}=1,m_{1}=0,m_{0}=1$

${\begin{aligned}21^{13}&=(((1\cdot 21^{m_{3}})^{2}\cdot 21^{m_{2}})^{2}\cdot 21^{m_{1}})^{2}\cdot 21^{m_{0}}\\&=(((1\cdot 21^{1})^{2}\cdot 21^{1})^{2}\cdot 21^{0})^{2}\cdot 21^{1}\\&=(((1\cdot 21)^{2}\cdot 21)^{2}\cdot 1)^{2}\cdot 21\\&=((21^{2}\cdot 21)^{2})^{2}\cdot 21\\&=((441\cdot 21)^{2})^{2}\cdot 21\\&=85766121^{2}\cdot 21\\&=154472377739119461\end{aligned}}$

Схема «справа налево»

В данной схеме, в отличие от схемы «слева направо», биты показателя степени просматриваются от младшего к старшему.

Последовательность действий при реализации данного алгоритма.

1. Представить показатель степени n в двоичном виде.
2. Положить вспомогательную переменную z равной числу x.
   1. Если $m_{i}=1$, то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если $m_{i}$ = 0, то требуется только возвести z в квадрат. При этом индекс i, в отличие от схемы слева направо, изменяется от 0 до k-1 включительно.

Данная схема содержит столько же умножений и возведений в квадрат, сколько и схема «слева направо». Однако несмотря на это, схема «слева направо» выгоднее схемы «справа налево», особенно в случае, если показатель степени содержит много единиц. Дело в том, что в схеме слева направо в операции result = result · x содержится постоянный множитель x. А для небольших x (что нередко бывает в тестах простоты) умножение будет быстрым. К примеру, для x = 2 мы можем операцию умножения заменить операцией сложения.

Математическое обоснование работы данного алгоритма можно представить следующей формулой:

$d=a^{n}=$

$=a^{\sum _{i=0}^{k}m_{i}\cdot 2^{i}}=$

$=a^{m_{0}}\cdot a^{2m_{1}}\cdot a^{2^{2}*m_{2}}\cdot ...\cdot a^{2^{k}*m_{k}}=$

$=a^{m_{0}}\cdot (a^{2})^{m_{1}}\cdot (a^{2^{2}})^{m_{2}}\cdot ...\cdot (a^{2^{k}})^{m_{k}}=$

$=\prod _{i=0}^{k}{(a^{2^{i}})^{m_{i}}}$.

Пример. Посчитаем с помощью схемы возведения в степень «справа налево» значение 21¹³.

i	0	1	2	3
$a^{2^{i}}$	21	441	194 481	37 822 859 361
$m_{i}$	1	0	1	1

1. 21 · 194 481 = 4084 101
2. 4084 101 · 37 822 859 361 = 154 472 377 739 119 461

Вычислительная сложность

И для схемы «слева направо», и для схемы «справа налево» количество операций возведения в квадрат одинаково и равно k, где k — длина показателя степени n в битах, $k\sim \ln {n}$. Количество же требуемых операций умножения равно весу Хэмминга, то есть количеству ненулевых элементов в двоичной записи числа n. В среднем требуется ${\frac {1}{2}}\cdot \ln {n}$ операций умножения.

Например, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 операций умножения и возведения в квадрат.

Для сравнения, при стандартном способе возведения в степень требуется $n-1$ операция умножения, то есть количество операций может быть оценено как $O(n)$.

Оптимизация алгоритма

Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальным.

Окно фактически представляет собой основание системы счисления. Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

Рассмотрим метод окна.

1. Для $i={\overline {0,2^{w}-1}}$ заранее вычисляется xⁱ
2. Показатель степени представляется в следующем виде: $n=\sum _{i=0}^{k/w}{n_{i}\cdot 2^{i\cdot w}}$, где $n_{i}\in {(0,1,...,2^{w}-1)}$
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим $y=x^{n_{k/w}}$.
4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. $y=y^{2^{w}}$
   2. $y=y\cdot x^{n_{i}}$.

В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/w.

Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

1. Показатель степени представляется в виде $n=\sum _{i=0}^{l}{n_{i}\cdot 2^{e_{i}}}$, где $n_{i}\in {(1,3,5,...,2^{w}-1)}$, а e_i+1 — e_i ≥ w.
2. Для $i=(1,3,5,...,2^{w}-1)$ вычисляется xⁱ. Далее будем обозначать xⁱ как x_i.
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим $y=x^{n_{l}}$.
4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. Для всех j от 0 до e_i+1 — e_i — 1 y возвести в квадрат
   2. $j=m_{i}$
   3. $y=y\cdot x_{j}$
5. Для всех j от 0 до e₀ — 1 y возвести в квадрат.

Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до ${\frac {k}{w+1}}$ в среднем.

Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

1. 215 = 2⁷ + 5 · 2⁴ + 7
2. y = 1
3. y = y · x = x
4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₂ — e₁ −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y⁸ = x⁸
5. y = y · x⁵ = x¹³
6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₁ — e₀ −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y¹⁶= x²⁰⁸
7. y = y · x⁷ = x²¹⁵

Применение

Алгоритм быстрого возведения в степень получил широкое распространение в криптосистемах с открытым ключом. В частности, алгоритм применяется в протоколе RSA, схеме Эль-Гамаля и других криптографических алгоритмах.

См. также

• Возведение в степень по модулю
• Алгоритмы быстрого возведения в степень по модулю

Литература

• Шнайер Б. Алгоритмы с открытыми ключами // Прикладная криптография. — Триумф, 2002. — ISBN 5-89392-055-4.
• Рябко Б. Я., Фионов А. Н. Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях — Научный мир, 2004. — С. 15. — 173 с. — ISBN 978-5-89176-233-6
• Смарт Н. Алгоритмы возведения в степень // Криптография. — Москва: Техносфера, 2005. — С. 287—292. — 528 с. — ISBN 5-94836-043-1.
• Маховенко Е. Б. Теоретико-числовые методы в криптографии — М.: Гелиос АРВ, 2006. — С. 154—155. — ISBN 978-5-85438-143-7
• Cohen H., Frey G. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. — Chapman & Hall/CRC, 2006. — С. 145—150. — 808 с. — ISBN 1-58488-518-1.
• Панкратова И. А. Теоретико-числовые методы криптографии — Томск: ТГУ, 2009. — 120 с.
• Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И. Защита информации: учебное пособие — М.: МФТИ, 2011. — С. 230—231. — 225 с. — ISBN 978-5-7417-0377-9
• Крэндалл Р., Померанс К. Алгоритмы с открытыми ключами // Простые числа: Криптографические и вычислительные аспекты — М.: URSS, 2011. — С. 514—520. — 663 с. — ISBN 978-5-453-00016-6, 978-5-397-02060-2