Вариация (статистика)

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.

Показатели вариации

Абсолютные показатели

• размах вариации:

$R=x_{\max }-x_{\min };$

• среднее линейное отклонение:

$a={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|,$

где ${\bar {x}}$ — выборочное среднее.

• среднеквадратическое отклонение:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}};$

• дисперсия:

$\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2};$

• среднее квартильное (квантильное) расстояние:

$q={\frac {(Q_{3}-\mathrm {Me} )+(\mathrm {Me} -Q_{1})}{2}}={\frac {(Q_{3}-Q_{1})}{2}},$

где $Q_{1}$, $Q_{3}$ — первый (нижний) и третий (верхний) квартили соответственно, $\mathrm {Me} =Q_{2}$ — медиана (второй или серединный квартиль).

Относительные показатели

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

$\rho ={\frac {R}{\bar {x}}};$

• относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):

$m={\frac {a}{\bar {x}}};$

• коэффициент вариации:

$V={\frac {\sigma }{\bar {x}}};$

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. По мнению автора рассматриваемого коэффициента К. Пирсона — коэффициент вариации эффективнее абсолютного показателя вариации.

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей:

$V={\sqrt {n\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}-1}},$

где $p_{i}={\frac {x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}}$.

$\nu ={\frac {\sigma }{\mu }},$

где $\mu$ — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

• относительное квартильное расстояние:

$d={\frac {q}{\bar {x}}}.$