Главное расслоение

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

Пусть $G$ — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой $G$ (или $G$-главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение $\pi :P\to X$, снабжённое непрерывным правым действием группы $P\times G\to P$, сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен $G$, а база $X$ — множеству орбит $P/G$.

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным $G$-главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой $F$. Точнее, пусть $\pi :P\to X$ — главное расслоение, $\rho :G\to \mathrm {Homeo} (F)$ — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве $F$. Определим правое действие $G$ на $P\times F$:

$(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.$

Рассмотрим факторпространство $A=(P\times F)/G$ и определим проекцию $\pi _{A}([p,f])=\pi (p)$. Тогда $\pi _{A}:A\to X$ — локально тривиальное расслоение со структурной группой $G$, называемое ассоциированным с $P$.

В теории калибровочных полей связности Эресманна на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

• Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно $P\times G$) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение $\sigma :X\to P$.

Примеры

• Расслоение реперов $FM$ многообразия $M$, имеющее структурную группу $\mathrm {GL} (\dim M)$.
• Пусть $G$ — группа Ли, $H$ — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой $G/H$, структурной группой $H$ и проекцией $\pi :G\to G/H$.
• Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой $S^{2}$, структурной группой $\mathrm {U} (1)\simeq S^{1}$ и тотальным пространством $S^{3}$.
• Регулярное накрытие $p:C\to X$ является главным расслоением со структурной группой $\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))$, действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие $X$ является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы $\pi _{1}(X)$.

Литература

• Bleecker, David. Gauge Theory and Variational Principles. — Addison-Wesley Publishing, 1981. — ISBN 0-486-44546-1.
• Jost, Jürgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — (4th ed.). — New York : Springer, 2005. — ISBN 3-540-25907-4.
• Husemoller, Dale. Fibre Bundles. — Third. — New York : Springer, 1994. — ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
• Steenrod, Norman. The Topology of Fibre Bundles. — Princeton : Princeton University Press, 1951. — ISBN 0-691-00548-6.