Групповое кольцо
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо — это свободный модуль над кольцом базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».
Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.
Определение
[править | править код]Пусть — кольцо, а — группа. Тогда групповым кольцом называется множество конечных формальных сумм вида , которые складываются и умножаются следующим образом:
Если , то
- .
Свойства
[править | править код]- Если и коммутативны, то коммутативно.
- Если — кольцо с единицей, то — кольцо с единицей.
- Вложение в образует базис группового кольца.
- Если — подгруппа , то — подкольцо кольца .
- Пусть является полем, тогда каждому элементу можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.
Литература
[править | править код]- Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
- Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.