Групповой объект

Групповой объект — это обобщение понятия группы на объект произвольной категории, во многих случаях групповой объект можно понимать как группу с дополнительной структурой. Типичный пример — топологическая группа, имеющая структуру топологического пространства, согласующуюся с групповой структурой, в том смысле, что групповая операция непрерывна.

Определение

Пусть C — категория с терминальным объектом 1, в которой для любых двух объектов существует их произведение. Групповой объект в C — это объект G категории C вместе с тройкой морфизмов:

• m : G × G → G (морфизм, соответствующий «групповой операции»)
• e : 1 → G («вложение тождественного элемента»)
• inv: G → G («взятие обратного элемента»),

для которых должны выполняться следующие свойства (соответствующие аксиомам группы):

• m ассоциативен, то есть $m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})$ и $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)$ — один и тот же морфизм $G\times G\times G\to G$ (здесь мы каноническим образом отождествляем $(G\times G)\times G$ и $G\times (G\times G)$);
• e является двусторонне нейтральным элементом, то есть $m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2},$ где $p_{2}:1\times G\to G$ — естественная проекция на второй множитель, и $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1},$ где $p_{1}:G\times 1\to G$ — естественная проекция на первый множитель;
• обратный элемент действительно является обратным, то есть, если d : G → G × G — диагональное отображение, а e_G : G → G — композиция единственного морфизма G → 1 и морфизма e, то $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times \mathrm {inv} )\circ d=m\circ (\mathrm {inv} \times \mathrm {id} _{G})\circ d=e_{G}.$

Примеры

• Группы — это в точности групповые объекты в категории множеств. Здесь m — бинарная операция умножения, e — функция, отправляющая множество-синглетон в тождественный элемент группы, inv сопоставляет элементу группы обратный элемент, а e_G отправляет все элементы группы в тождественный.
• Топологическая группа — групповой объект в категории топологических пространств и непрерывных отображений.
• Группа Ли — групповой объект в категории гладких многообразий и гладких отображений.
• Алгебраическая группа — групповой объект в категории алгебраических многообразий и регулярных отображений. В современной алгебраической геометрии рассматривают также более общее понятие групповой схемы — группового объекта в категории схем.
• Групповые объекты в категории групп — это в точности абелевы группы. Действительно, если G — абелева группа, то m, e и inv, определённые обычным образом, удовлетворяют свойствам группового объекта (в частности, из абелевости группы G следует, что inv является гомоморфизмом). Обратно, если (G, m, e, inv) — групповой объект в категории групп, можно доказать, что операция m совпадает с изначальной операцией на группе G, из чего следует, что e и inv также определены обычным образом. См. также аргумент Экманна — Хилтона.
• Если C — категория с конечными копроизведениями (в частности, с начальным объектом 0, являющимся копроизведением пустого множества объектов), когрупповой объект категории C — это объект G вместе со следующими морфизмами: «коумножением» m: G → G $\oplus$ G, «коединицей» e: G → 0 и «кообращением» inv: G → G, которые удовлетворяют аксиомам, двойственным к перечисленным выше аксиомам группового объекта. Когрупповые объекты естественно возникают в алгебраической топологии.

См. также

• Алгебры Хопфа можно рассматривать как обобщение групповых объектов на произвольную моноидальную категорию.

Ссылки

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
• Lang, Serge (2002), Algebra. — Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag — ISBN 978-0-387-95385-4.