Дифференциальное сечение рассеяния

Дифференциальное сечение рассеяния — отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла dW, к плотности потока падающих частиц.

Классическое рассеяние

Если рассматривать классическую задачу, когда одна частица рассеивается от одной неподвижной частицы-мишени, то обычно используется сферическая система координат. При этом цель размещается в начале координат, а z этой системы координат совпадает с падающим лучом. Угол θ — это угол рассеяния, измеряемый между падающим лучом и рассеянным лучом, а φ — азимутальный угол.

Схема процесса рассеяния двух частиц

Прицельный параметр b представляет собой перпендикулярное смещение траектории падающей частицы, а улетающая частица летит под углом θ. Для данного взаимодействия (кулоновского, магнитного, гравитационного, контактного и так далее) прицельный параметр и угол рассеяния имеют определённую взаимно однозначную функциональную зависимость друг от друга. Обычно прицельный параметр нельзя ни контролировать, ни измерять от события к событию, и предполагается, что он принимает все возможные значения при усреднении по множеству событий рассеяния. Дифференциальный размер поперечного сечения представляет собой элемент площади в плоскости прицельного параметра, то есть dσ = b dφ db . Дифференциальный угловой диапазон рассеянной частицы под углом θ представляет собой элемент телесного угла dΩ = sin θ dθ dφ. Дифференциальное сечение представляет собой частное этих величин, dσ/dΩ

Это функция угла рассеяния (и, следовательно, также прицельного параметра), а также других наблюдаемых величин, таких как импульс падающей частицы. Дифференциальное поперечное сечение всегда считается положительным, даже если более высокие параметры удара обычно вызывают меньшее отклонение. В цилиндрически симметричных ситуациях (относительно оси пучка) азимутальный угол φ не изменяется в процессе рассеяния, и дифференциальное сечение можно записать как

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi$ .

В других ситуациях, когда процесс рассеяния не является азимутально-симметричным, например, когда луч или частицы мишени обладают магнитными моментами, ориентированными перпендикулярно оси луча, дифференциальное сечение также должно быть выражено как функция от азимутального угла.

При рассеянии частиц падающего потока F_inc от неподвижной мишени, состоящей из множества частиц, дифференциальное сечение dσ/dΩ под углом (θ,φ) связано с потоком детектирования рассеянных частиц F_out(θ,φ) в частицах в единицу времени соотношением

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.$

Здесь ΔΩ — конечный угловой размер детектора (единицы СИ: ср), n — плотность числа частиц мишени (м⁻³), а t — толщина неподвижной цели (м). Эта формула предполагает, что цель достаточно тонкая, чтобы каждая частица луча взаимодействовала не более чем с одной частицей цели.

Полное сечение σ можно восстановить путём интегрирования дифференциального сечения dσ/dΩ по полному телесному углу (4π стерадиан):

$\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Обычно опускают определение «дифференциал», когда тип поперечного сечения можно вывести из контекста. В этом случае σ можно называть интегральным поперечным сечением или полным поперечным сечением . Последний термин может сбивать с толку в контекстах, где задействовано несколько событий, поскольку «общее» также может относиться к сумме поперечных сечений по всем событиям.

Дифференциальное сечение является чрезвычайно полезной величиной во многих областях физики, поскольку его измерение может выявить большой объём информации о внутренней структуре целевых частиц. Например, дифференциальное сечение резерфордского рассеяния явилось убедительным доказательством существования атомного ядра. Вместо телесного угла в качестве независимой переменной дифференциальных сечений можно использовать переданный импульс.

Дифференциальные сечения неупругого рассеяния содержат резонансные пики, указывающие на создание метастабильных состояний и содержащие информацию об их энергии и времени жизни состояний.

Квантовое рассеяние

В не зависящем от времени формализме квантового рассеяния в качестве начальной волновой функции (до рассеяния) берётся плоская волна с определённым импульсом k :

$\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},$

где z и r — относительные координаты между снарядом и целью. Стрелка указывает, что это описывает только асимптотическое поведение волновой функции, когда снаряд и цель находятся слишком далеко друг от друга, чтобы взаимодействие могло бы иметь какой-либо эффект.

Ожидается, что после рассеяния волновая функция будет иметь следующую асимптотику:

$\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},$

где f — некоторая функция угловых координат, известная как амплитуда рассеяния. Эта общая форма действительна для любого короткодействующего сохраняющего энергию взаимодействия. Это неверно для дальнодействующих взаимодействий, поэтому при работе с электромагнитными взаимодействиями возникают дополнительные сложности.

Полная волновая функция системы ведёт себя асимптотически как сумма двух вкладов

$\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).$

Дифференциальное сечение связано с амплитудой рассеяния по формуле:

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.$

Что имеет простую интерпретацию как плотность вероятности нахождения рассеянного снаряда под заданным углом.

Связь с S-матрицей

Если приведённые массы и импульсы сталкивающейся системы равны m_i, p_i и m_f, p_f до и после столкновения соответственно, дифференциальное сечение определяется выражением 

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},$

T-матрица определяется формулой

$S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}$

в терминах S-матрицы. Здесь δ — дельта-функция Дирака. Вычисление S-матрицы — основная цель теории рассеяния.

Литература

• Биленький С. М. Рассеяние микрочастиц // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга — Робертсона — Стримеры. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.