Квадратичное поле

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над $\mathbb {Q}$. Можно доказать, что отображение $d\mapsto \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если $d>0,$ квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть $D$ — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$) — это множество линейных комбинаций вида $a+b{\sqrt {D}}$ (квадратичных иррациональностей), где $a,b\in \mathbb {Z}$, с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если $D\equiv 1{\pmod {4}}$, кольцо целых состоит из чисел вида $a+b\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$, где $a,b\in \mathbb {Z}$.

Примеры колец целых

Простые числа Эйзенштейна на комплексной плоскости

• Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю $D=-1$. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.
• Случаю $D=-3$ (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант

Дискриминант квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в ${\mathcal {O}}_{K}$ (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

• (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p² элементов:

${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong \mathbb {F} _{p^{2}}$

• (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.

${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong \mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}$

• (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера $\left({\tfrac {D}{p}}\right)$ равен −1 и 1 соответственно.

Литература

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations (англ.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory (неопр.). — Hermann/Kershaw, 1972.
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory (неопр.). — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.
• Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.