Линзовое пространство

Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством $S^{2n-1}/\mathbb {Z} _{p}$ сферы $S^{2n-1}$ по изометрическому свободному действию циклической группы $\mathbb {Z} _{p}$.

Сферу $S^{2n-1}$ всегда возможно расположить в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ с фиксированным базисом, так чтобы образующая $\mathbb {Z} _{p}$, действовала на каждой координате $z_{i}$ умножениями на $\xi _{p}^{q_{i}}$ где $\xi _{p}=\exp {2\pi i/p}$. Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого $i$, $q_{i}$ взаимнопросто с $p$. Это пространство обычно обозначается $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$.

Фундаментальную область действия $\mathbb {Z} _{p}$ на $S^{2n-1}$ удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство».

Свойства

• Прямой предел $S^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}$ линзовых пространств при $n\to \infty$ дает асферическое пространство, а точнее $K(\mathbb {Z} _{p},1)$ пространство.
• В трехмерном случае линзовое пространство совпадают с многообразиями, имеющими диаграмму Хегора рода 1, и поэтому они являются многообразиями Зейферта.