Матрица сопротивлений

Матрица сопротивлений — матрица, применяемая для описания устройств СВЧ, связывающая линейной зависимостью комплексные амплитуды напряжений и силы тока в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:

$Z={\begin{pmatrix}z_{11},&z_{12},&\cdots &z_{1N}\\z_{21},&z_{22},&\cdots &z_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{N1},&z_{N2},&\cdots &z_{NN}\\\end{pmatrix}}$

Устройство СВЧ как многополюсник

Описание устройства СВЧ может производиться без учёта его внутренней структуры и геометрии. Для инженерного расчёта любое линейное пассивное устройство может быть представлено в виде «чёрного ящика» — многополюсника, каждая пара клемм которого представляет определённый тип волн во всех линиях передачи, подключённых к этому устройству. На каждом входе эквивалентного многополюсника можно определить комплексные амплитуды напряжения и силы тока. Чаще всего ток и напряжение определяют через поперечные составляющие электрического и магнитного поля волны, распространяющейся в линии:

$\;E_{n}=u_{n}e_{n}$

$\;H_{n}=i_{n}h_{n}$

Здесь $\;e_{n}$ и $\;h_{n}$ — собственные функции поперечных составляющих основных волн в n-входной линии. Напряжения $\;u_{n}$ и токи $\;i_{n}$ входят в нормированной форме:

$u_{n}=U_{n}/{\sqrt {W_{n}}}$ [Вт^½]

$i_{n}=I_{n}{\sqrt {W_{n}}}$ [Вт^½]

$\;W_{n}$ — характеристическое сопротивление основной волны в линии. Напряжение и ток в линии могут быть выражены через падающую и отражённую волны:

$\;u_{n}=a_{n}+b_{n}$

$\;i_{n}=a_{n}-b_{n}$

Падающая и отражённая волны также входят в нормированной форме и измеряются в Вт^½.

$\;a_{n}={\sqrt {P_{n\;in}}}e^{i\varphi _{n\;in}}$

$\;b_{n}={\sqrt {P_{n\;out}}}e^{i\varphi _{n\;out}}$

Матричное уравнение

Представив множества токов и напряжений на всех входах многополюсника в виде векторов, можно записать матричное уравнение связи напряжений и токов:

$u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}};\;i={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{n}\end{pmatrix}}$

$\;u=Zi$

В алгебраической форме запись приобретёт вид

${\begin{cases}u_{1}=z_{11}i_{1}+z_{12}i_{2}+\ldots +z_{1N}i_{N}\\u_{2}=z_{21}i_{1}+z_{22}i_{2}+\ldots +z_{2N}i_{N}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\u_{N}=z_{N1}i_{1}+z_{N2}i_{2}+\ldots +z_{NN}i_{N}\end{cases}}$

Физический смысл

Чтобы выяснить физический смысл элементов матрицы сопротивлений, необходимо организовать специальный тестовый режим измерения токов и напряжений многополюсника, называемый режимом холостого хода (Х.Х.).

Смысл диагональных элементов (z_nn) матрицы сопротивлений станет ясен, если создать электрический ток i_n ≠ 0 (подключить источник тока к n-му входу многополюсника) и создать режим Х.Х. на всех прочих входах (то есть разомкнуть все прочие k = 1...N, k ≠ n входы многополюсника). В этом случае сила тока i_k на k-х (разомкнутых) входах будет равна нулю, а напряжение и сила тока для n-го входа будут связаны законом Ома: u_n = z_nni_n. Из выражения видно, что каждый n-й диагональный элемент матрицы рассеяния имеет тот же смысл, что и электрическое сопротивление n-го входа при условии одновременного Х.Х. на всех прочих входах.

В рассмотренном тестовом режиме напряжения на всех (n-м и k-х) входах не будут равны нулю, они будут пропорциональны силе тока i_n, создаваемого подключённым к n-му входу источником: u_k = z_kni_n, k = 1, ... , n, ... , N. Из этого выражения видно, что все элементы матрицы рассеяния служат коэффициентами пропорциональности между силой тока i_n в n-м входе и напряжением u_k на k-м входе и имеют размерность электрического сопротивления (Ом). Диагональные элементы называют собственными сопротивлениями входов, внедиагональные — вносимыми сопротивлениями (вносимыми в k-й вход из n-го входа, первый индекс — "куда", второй — "откуда"). Эти названия подчёркивают тот факт, что в общем случае, при протекании тока по всем N входам многополюсника, напряжение u_n на каждом n-м входе зависит не только от силы тока i_n в этом входе (u_n пропорционально i_n, коэффициент пропорциональности — собственное сопротивление z_nn), но и от силы тока i_k во всех прочих входах (u_n пропорционально также и i_k, коэффициент пропорциональности — вносимое сопротивление z_nk). То есть напряжение на каждом входе не только зависит от "собственного" источника тока, но и "вносится" (наводится, получает добавку, зависит, изменяется) за счет протекания тока во всех прочих входах в силу наличия электрических межсоединений во внутренней электрической схеме многополюсника.

Таким образом, в целом матрица сопротивлений и матричное уравнение, связывающее напряжения и токи на входах многополюсника, являются обобщением закона Ома для участка цепи (то есть для двухполюсника) на случай многополюсника.

См. также

• Матрица рассеяния
• Матрица проводимостей
• Классическая матрица передачи
• Волновая матрица передачи

Литература

• Сазонов Д. М. Антенны и устройства СВЧ. Учеб. для радиотехнически специальностей вузов. — М.: Высш. шк, 1988. — P. 432. — ISBN 5-06-001149-6.