Модель Бруно — Фишера

Модель Бруно — Фишера — модель зависимости инфляции, бюджетного дефицита и способов его финансирования, предложенная в 1987 году. Модель основана на определённой зависимости удельного (на единицу реального дохода) реального спроса на деньги от одного фактора — ожидаемой инфляции, на адаптивных инфляционных ожиданиях. В упрощённой версии модели предполагается, что весь дефицит бюджета финансируется за счет эмиссии. В более сложной версии допускается как эмиссионное финансирование дефицита, так и через заимствование.

История возникновения

В 1987 году М. Бруно и С. Фишер предложили в своей работе «Сеньораж, операционные правила, и ловушка высокой инфляции» модель инфляции.

Упрощённая модель (эмиссионное финансирование бюджетного дефицита)

Модель спроса на деньги

В данной модели применяется функция спроса на деньги, аналогичная модели Кейгана, однако она используется для удельного спроса на деньги $({\frac {M}{PY}})^{D}$:

$\ln({\frac {M}{PY}})^{D}=-\alpha \pi ^{e}$,

где $\alpha$ — положительный параметр; $\pi ^{e}$ — ожидаемая инфляция.

С учётом условия равновесия на денежном рынке удельный спрос на деньги должен быть равен удельному предложению, то есть если $M$ — номинальная денежная масса, $P$ — уровень цен, $Y$ — реальный ВВП, то вместо модели спроса используется следующее равновесное условие:

$\ln M-\ln P-\ln Y=-\alpha \pi ^{e}$,

или, дифференцируя по времени (точкой сверху обозначены производные по времени):

$m-\pi -y=-\alpha {\dot {\pi }}^{e}$,

где $m={\dot {M}}/M$ — темп роста денежной массы; $\pi ={\dot {P}}/P$ — фактическая инфляция; $y={\dot {Y}}/Y$ — темп роста ВВП.

Модель инфляционных ожиданий

Инфляционные ожидания предполагаются адаптивными, то есть формируются следующим образом:

${\dot {\pi }}^{e}=\beta (\pi -\pi ^{e})$,

где $\beta$ — положительный параметр, характеризующий скорость адаптации ожиданий к фактической инфляции при фиксации последней.

Отсюда можно выразить фактическую инфляцию и если подставить это в полученную выше модель и записать следующую модель инфляционных ожиданий:

${\dot {\pi }}^{e}=\lambda (m-y-\pi ^{e}),\lambda =\beta /(1-\alpha \beta )$.

Отсюда, можно вывести, в частности, условие равновесия — постоянства инфляционных ожиданий (то есть ${\dot {\pi }}^{e}=0$, а значит, учитывая адаптивность инфляционных ожиданий — $\pi ^{e}=\pi$, то есть постоянство инфляционных ожиданий эквивалентно совпадению ожидаемой и фактической инфляции):

$\pi ^{e}=m-y$.

Модель финансирования бюджетного дефицита

Обозначим через $d$ долю дефицита бюджета в номинальном ВВП. Тогда $d\cdot P\cdot Y$ — номинальный дефицит в единицу времени.

Предполагается, что дефицит бюджета полностью финансируется за счет денежной эмиссии, то есть номинальный дефицит равен скорости изменения денежной массы:

${\dot {M}}=d\cdot P\cdot Y$

или:

$m{\frac {M}{PY}}=d$

Учитывая модель спроса на деньги и условие денежного равновесия отсюда можно записать как должен зависеть темп роста денежной массы от инфляционных ожиданий и уровня дефицита:

$m=de^{\alpha \pi ^{e}}$

В таком случае получаем следующую модель для равновесных инфляционных ожиданий:

$\pi ^{e}=de^{\alpha \pi ^{e}}-y$

Если бюджетный дефицит (в долях от ВВП) намного больше темпа экономического роста, то экономика может не прийти в равновесие. Если же он меньше экономического роста, то существует единственная равновесная инфляция. В случае небольшого превышения дефицита над темпом экономического роста возможны два равновесных уровня инфляции. При этом можно показать, что если $\alpha \beta <1$ стационарный режим с меньшей инфляцией является устойчивым, а с большей — неустойчивым равновесием. В противном случае — наоборот.

Расширенная модель (смешанное финансирование бюджетного дефицита)

Модель финансирования дефицита

В рамках данной модели дефицит бюджета финансируется как за счет денежной эмиссии, так и за счет заимствований. То есть реальный дефицит $d\cdot Y$ покрывается как за счет реальной эмиссии ${\dot {M}}/P$, так и за счет роста реального государственного долга $B$ в единицу времени — ${\dot {B}}$. При этом государственный долг является платным, то есть нужно учесть также и проценты по нему в размере $r\cdot B$, где $r$ — реальная процентная ставка. Таким образом:

$d\cdot Y={\dot {M}}/P+{\dot {B}}-r\cdot B$,

или в удельном представлении:

$d+rb=ml+{\dot {b}}+yb$,

где $b=B/Y$ — удельный государственный долг; $l={\frac {M}{PY}}$ — удельная реальная денежная масса; $m={\dot {M}}/M$ — темп роста денежной массы; $y$ — темп роста реального дохода $Y$.

Предполагается, что экономический рост является экзогенным и определяется только ростом населения, то есть $y=n$ — темп роста населения. Таким образом, можно записать:

$d+(r-n)b=m\cdot l+{\dot {b}}$.

В равновесных условиях ${\dot {b}}=0$, поэтому:

$d+(r-n)b=m\cdot l$.

Модель спроса на деньги

Появление государственных облигаций позволяет экономическим агентам хранить средства не только в деньгах, но и в этих облигациях, то есть суммарные средства экономических агентов в реальном выражении равны $B+M/P$. Если обозначить долю этих реальных средств в реальных доходах через $\gamma$, то есть $\gamma =b+l$ и подставить $b=\gamma -l$ в равновесную модель финансирования дефицита, то:

$d+(r-n)\gamma =(r-n+m)l$

В равновесных условиях темп роста денежной массы должен покрывать экономический рост (рост населения) и инфляцию, то есть $m=n+\pi$, поэтому можно записать:

$d+(r-n)\gamma =(r+\pi )l$.

Хранение денег имеет альтернативную стоимость не только в виде ожидаемой инфляции, но и в виде стоимости альтернативного вложения в облигации (реальной ставки процента), поэтому функцию удельного реального спроса на деньги в данном случае можно представить как:

$l=l^{d}=\gamma e^{-\alpha (r+\pi ^{e})}=\gamma e^{-\alpha i}$,

где $i$ — номинальная ставка.

В равновесных условиях инфляционные ожидания совпадают с фактической инфляцией.

Модель товарного рынка

В данной модели кроме равновесия на денежном рынке необходимо рассмотреть и равновесие на товарном рынке (тождество дохода) $Y=C+G$ или в удельном выражении $c+g=1$, где $C,G$- соответственно потребительские и государственные расходы, $c,g$ — их удельные величины (доля в $Y$).

Предполагается, что потребительские расходы прямо зависят от суммарных средств экономических агентов (удельная величина $\gamma$) и обратно зависят от реальной процентной ставки (степенная зависимость с некоторым параметром $\lambda$ — эластичностью по процентной ставке). Кроме этого потребительские расходы линейно зависят от налогов $T$ (удельная величина — ставка налогов $t$ — не путать со временем) — с некоторым коэффициентом пропорциональности $a$. Таким образом, модель для удельных потребительских расходов имеет вид:

$c=\gamma r^{-\lambda }-at$

Тогда тождество дохода будет иметь вид:

$\gamma r^{-\lambda }-at+g=1$.

Отсюда можно получить:

$\gamma =(1-g+at)r^{\lambda }$.

Зависимость в дифференциальной форме можно представить следующим образом:

$\gamma '_{r}=\lambda \gamma /r$.

См. также

• Модель Фридмана (экономика)
• Модель гиперинфляции Кейгана
• Модель Сарджента — Уоллеса