Модулярная функция
Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.
Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:
для каждой матрицы:
- ,
принадлежащей модулярной группе .
Модулярная форма
[править | править код]Модулярной формой веса для группы называется голоморфная функция , удовлетворяющая условию:
- для любых и
и голоморфная во всех параболических точках[1][2].
Пусть — верхняя комплексная полуплоскость: . Группа матриц для натурального числа определяется как:
- .
Группа действует на с помощью дробно-линейных преобразований где и .[3]
Свойства модулярных форм
[править | править код]Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса является (при ) ряд Эйзенштейна:
- ,
где .
Пусть
— модулярные инварианты, — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):
- ,
выполняются равенства:
- ,
- .
Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть — модулярная форма веса 4, — модулярная форма веса 12. Соответственно — модулярная форма веса 12, а — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.
Примечания
[править | править код]- ↑ Сарнак, 1998, с. 7.
- ↑ Прасолов, 1997, с. 194.
- ↑ Прасолов, 1997, с. 187.
Литература
[править | править код]- Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
- Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
- Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
- В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.
Ссылки
[править | править код]- J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |