Парадокс Тристрама Шенди

Парадокс Тристрама Шенди — рассуждение, предложенное Расселом в книге «Мистицизм и логика» («Mysticism and Logic») в связи с понятием равномощности множеств, демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.

Формулировка

В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и ещё один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет её завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».

Действительно, события $n$-го дня Шенди мог бы описать за $n$-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатлённым. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Аналогия

Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5 …

1 4 9 16 25 …

2 4 8 16 32 …

1 2 6 24 120 …

Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.

Выводы

Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.

Ссылки

• Энциклопедия Кругосвет: Теория множеств.
• Хазарзар Р. Апории Зенона.
• Russell B. Mysticism and Logic. — London: Longmans Green, 1918. — P. 74—96.