Преобразование Бокса — Мюллера

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов, основывающихся на центральной предельной теореме.

Метод был опубликован в 1958 году Джорджем Боксом и Мервином Мюллером.

Первый вариант

Пусть $r$ и $\varphi \$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале $(0,\;1]$. Вычислим $z_{0}$ и $z_{1}$ по формулам

$z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}},$

$z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.$

Тогда $z_{0}$ и $z_{1}$ будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — $\cos(\cdot )$ и $\sin(\cdot )$ — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

Второй вариант

Пусть $x$ и $y$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке $[-1,\;1]$. Вычислим ${s=x^{2}+y^{2}}$. Если окажется, что ${s>1}$ или ${s=0}$, то значения $x$ и $y$ следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие ${0<s\leqslant 1}$, по формулам

$z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s}}$

и

$z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s}}$

следует рассчитать $z_{0}$ и $z_{1}$, которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, то есть $\pi /4\approx 0{,}785$. Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, $\ln(\cdot )$. Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

Переход к общему нормальному распределению

После получения стандартной нормальной случайной величины $z$, можно легко перейти к величине $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ распределённой нормально с математическим ожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$ по формуле

$\xi =\mu +\sigma z.$

Это уже не является частью преобразования Бокса — Мюллера, но позволяет завершить генерацию нормальной случайной величины.

См. также

• Алгоритм Зиккурат

Ссылки

• Преобразование равномерно распределенной случайной величины в нормально распределенную Архивная копия от 26 августа 2014 на Wayback Machine