Простые числа Рамануджана
Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.
История
[править | править код]В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что
для всех , где — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих . Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:[1]
для всех соответственно (последовательность A104272 в OEIS).
Определение
[править | править код]Простое число Рамануджана это наименьшее целое число, что для любого выполнено
Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех не меньше и стремится к бесконечности.
Следует отметить, что обязательно является простым числом: , а следовательно и должно возрасти, что возможно только если простое.
Границы и асимптотика
[править | править код]Оценка посредством элементарных функций[2]:
Оценка посредством простых чисел[2][3]:
- ,
где — -е простое число.
Асимптотика[2]:
- при
Уточнённая оценка сверху[4]:
Все эти результаты были доказаны после 2008 года.
Примечания
[править | править код]- ↑ Ramanujan, S. (1919), "A proof of Bertrand's postulate", Journal of the Indian Mathematical Society, 11: 181—182, Архивировано из оригинала 26 мая 2018, Дата обращения: 11 июня 2019..
- ↑ 1 2 3 Sondow, J. (2009), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly, 116 (7): 630—635, arXiv:0907.5232, doi:10.4169/193009709x458609
- ↑ Laishram, S. (2010), "On a conjecture on Ramanujan primes" (PDF), Международный журнал по теории чиселi[англ.], 6 (8): 1869—1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934, doi:10.1142/s1793042110003848, Архивировано из оригинала (PDF) 12 ноября 2017, Дата обращения: 11 июня 2019.
- ↑ Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, T. D. (2011), "Ramanujan primes: bounds, runs, twins, and gaps" (PDF), Journal of Integer Sequences, 14: 11.6.2, arXiv:1105.2249, Bibcode:2011arXiv1105.2249S, Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017, Дата обращения: 11 июня 2019..