Псевдохарактер

Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.

Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории ограниченных когомологий, в симплектической геометрии и в теории представлений групп.

Определение

Функция $f\colon G\to \mathbb {R}$ на группе $G$ называется квазихарактером (или квазиморфизмом), если существует такая константа $D\geq 0$, что для любых $x,y\in G$ выполняется неравенство $|f(xy)-f(x)-f(y)|\leq D$. Или, что то же самое,

$f(x)+f(y)-D\leq f(xy)\leq f(x)+f(y)+D$.

Квазихарактер $f$ называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых $x\in G$ и $n\in \mathbb {Z}$ выполняется

$f(x^{n})=nf(x)$.

Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.

Вспомогательные определения

Дефектом квазихарактера $f$ называется супремум

$D_{f}:=\sup _{x,y\in G}|f(xy)-f(x)-f(y)|$.

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером.

Два квазихарактера $f$ и $g$ называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

$\|f-g\|_{\infty }:=\sup _{x\in G}|f(x)-g(x)|$.

Например, квазихарактер асимптотически эквивалентен нулевому гомоморфизму в том и только в том случае, если он ограничен. Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму.

Пространство псевдохарактеров

Множество всех квазихарактеров на группе $G$ обозначается символом ${\mathcal {X}}(G)$. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов $G\to \mathbb {R}$, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является полунормой на пространстве ${\mathcal {X}}(G)$. Таким образом, данное пространство является полунормированным.

Множество всех псевдохарактеров на группе $G$ является векторным подпространством пространства ${\mathcal {X}}(G)$ и обозначается символом ${\mathcal {PX}}(G)$. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов ${\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )$.

Усреднение квазихарактеров

Каждый квазихарактер $f\colon G\to \mathbb {R}$ можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

${\overline {f}}(x):=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x^{n})}{n}}$.

Тогда данный предел всегда существует, а функция ${\overline {f}}\colon G\to \mathbb {R}$ является псевдохарактером, дефект которого не превосходит $4D_{f}$, и выполняется неравенство $\|f-{\overline {f}}\|_{\infty }\leq D_{f}$. Более того, функция ${\overline {f}}$ является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру $f$. Отображение $f\mapsto {\overline {f}}$, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше полунормы), является проектором ${\mathcal {X}}(G)\to {\mathcal {PX}}(G)$ и называется усреднением. В частности, если квазихарактер $f$ является псевдохарактером, то ${\overline {f}}=f$.

С помощью данного проектора пространство псевдохарактеров ${\mathcal {PX}}(G)$ возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства ${\mathcal {X}}(G)$ по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру (или, иными словами, по подпространству ограниченных квазихарактеров).

Пространство нетривиальных псевдохарактеров

Обозначим символами

${\widehat {\mathcal {X}}}(G):={\mathcal {X}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )$

и

${\widehat {\mathcal {PX}}}(G):={\mathcal {PX}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} ),$

соответственно, факторпространства пространств всех квазихарактеров и всех псевдохарактеров по подпространству всех характеров. Полунорма дефекта индуцирует норму на данные пространства. Полученные нормированные пространства являются банаховыми.

Свойства

Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: $f(yxy^{-1})=f(x)$ для любых $x,y\in G$. Таким образом, каждый псевдохарактер является функций классов, то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.

Доказательство

Для любого $n\in \mathbb {N}$ выполняется неравенство

$|f(yxy^{-1})-f(x)|={\frac {|f(yx^{n}y^{-1})-f(x^{n})|}{n}}\leq {\frac {2\cdot D_{f}}{n}}$.

Переходя к пределу $n\to \infty$, можно заключить, что число слева равно нулю.

Если элементы $x,y\in G$ коммутируют, то $f(xy)=f(x)+f(y)$. Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.

Доказательство

Для любого $n\in \mathbb {N}$ выполняется неравенство

$|f(xy)-f(x)-f(y)|={\frac {|f((xy)^{n})-f(x^{n})-f(y^{n})|}{n}}={\frac {|f(x^{n}y^{n})-f(x^{n})-f(y^{n})|}{n}}\leq {\frac {D_{f}}{n}}$.

Переходя к пределу $n\to \infty$, можно заключить, что число слева равно нулю.

Примеры

Обозначим символом ${\rm {Homeo}}_{+}(\mathbb {R} )$ группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом ${\widetilde {\rm {Homeo}}}_{+}(S^{1})$ — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, удовлетворяющих условию $f(x+1)=f(x)+1$ для любого $x\in \mathbb {R}$, то есть коммутирующих с единичным сдвигом $x\mapsto x+1$. Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе ${\widetilde {\rm {Homeo}}}_{+}(S^{1})$, дефект которого не превосходит единицы.

Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$. Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером Радемахера. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе ${\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$.

Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос $B_{n}$. Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностью.

Считающие квазихарактеры

Пусть $F(S)$ — свободная группа с базисом $S$. С каждым приведённым словом $w\in F(S)$ следующим образом свяжем пару квазихарактеров на $F(S)$.

Для $x\in F(S)$ положим $C_{w}(x)$ равным количеству вхождений слова $w$ в приведённое слово-представителя элемента $x$. Например, при $S=\{a\}$ имеем $C_{aa}(aaaa)=3$. Далее, положим $c_{w}(x)$ равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова $w$ в приведённое слово-представителя элемента $x$. Например, $c_{aa}(aaaa)=2$.

Определим $H_{w}(x):=C_{w}(x)-C_{w^{-1}}(x)$ и $h_{w}(x):=c_{w}(x)-c_{w^{-1}}(x)$. Функции $H_{w}$ и $h_{w}$ являются квазихарактерами на свободной группе $F(S)$ и называются, соответственно, большой считающей (от англ. big counting) и малой считающей (от англ. little counting). Большие считающие квазихарактеры были введены Робертом Бруксом и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Дэвидом Эпстейном и Кодзи Фудзиварой.

Например, при $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ и $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ имеем $H_{x_{i}}=h_{x_{i}}$, причем квазихарактеры $H_{x_{1}},H_{x_{2}},\ldots ,H_{x_{n}}$ являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов ${\rm {Hom}}(F(S),\mathbb {Z} )$.

Дефект большого считающего квазихарактера $H_{w}$ не превосходит числа $3\cdot (|w|-1)$, где символ $|w|$ обозначает количество букв в слове $w$. Данная оценка точна, как показывает пример $w=abababababa$. Однако дефект малого считающего квазихарактера $h_{w}$ всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если $|w|=1$, равен двойке только если $w$ имеет вид $w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}$, $w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}w_{3}$ или $w_{1}w_{2}w_{3}w_{2}^{-1}$, а иначе равен единице.

Литература

• Calegari, D. scl (англ.). — Mathematical Society of Japan, 2009. — Vol. 20. — 209 p. — (MSJ Memoirs). — ISBN 978-4-931469-53-2. — doi:10.1142/e018.

Ссылки

• Штерн, А. И. Устойчивость представлений и псевдохарактеры // Ломоносовские чтения. — М.: Издательство Московского университета, 1983.
• Штерн, А. И. Конечномерные квазипредставления связных групп Ли и гипотеза Мищенко // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, вып. 7. — С. 85–225.
• Kotschick, D. What is … a quasi-morphism? (англ.) // Notices of the American Mathematical Society. — 2004. — Vol. 51, no. 2. — P. 208–209.
• Малютин, А. В. Закрученность (замкнутых) кос // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, вып. 5. — С. 59–91.
• Каган, Д. З. Псевдохарактеры на свободных группах, инвариантные относительно некоторых типов эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. — 2012. — Т. 17, вып. 2. — С. 167–176.