Риччи-солитон

Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля $X$, удовлетвояющего уравнению

$\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},$

где $\operatorname {Rc}$ — кривизной Риччи тензор, и ${\mathcal {L}}$ — производная Ли. Если $X=0$, то условие превращается в условие Эйнштейна

Типы

• Если поле $X=\nabla f$ является градиентом некой функции $f$, то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид

  $\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,$

а сама функция $f$ называется потенциалом солитона.

• При $\lambda =0$ солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
• При $\lambda >0$ солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче $(-\infty ,0)$ .
• При $\lambda <0$ солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче $(0,\infty )$.

Свойства

• Для любого конуса $C$ над сферой с римановой метрикой оператора кривизны $\geq 1$ существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон $M^{t}$, такой, что $M^{t}$ сходится к $C$ при $t\to 0$ по Громову — Хаусдрофу.

• Для любого градиентного солитона с потенциалом $f$ выполняется тождество

  $2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,$

где $\mathrm {Rc}$ обозначает тензор Риччи, а $\mathrm {R}$ — скалярную кривизну.

Примеры

• Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
• Плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ с метрикой

  $ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}$

является стационарным градиентным солитоном с потенциалом $f=-\ln(1+x^{2}+y^{2})$. Это так называемая сигара Гамильтона.

Литература

• arXiv:0908.2006
• Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.