Рёберно k-связный граф

Пример двусвязного графа

Рёберно k-связный граф — граф, который остаётся связным после удаления не более чем $k-1$ рёбер.

Часто вместо рёберно k-связный граф, говорят k-связный граф.

Формальное определение

Пусть $G=(V,E)$ — любой граф. Если $G^{\prime }=(V,E\setminus X)$ связен для всех $X\subseteq E$ при $|X|<k$, то $G$ называется k-рёберно связен.

Замечания

• Если граф является рёберно k-связным, то он также и рёберно m-связен при всех m < k.
• Связный граф это то же, что и рёберно 1-связный граф.

Свойства

• Минимальная степень вершин рёберно k-связного графа не меньше k.
• Критический граф с хроматическим числом >k является рёберно k-связным.

Вычисление

Существует полиномиальный по времени алгоритм определения наибольшего k, для которого граф G является k-рёберно-связным. В качестве простого алгоритма можно использовать следующий: для любой пары вершин (u, v) определим максимальный поток из u в v с пропускной способностью всех рёбер, равной единице в обоих направлениях. Граф является k-рёберно-связным, тогда и только тогда, когда максимальный поток из u в v не меньше k для любой пары (u, v). Таким образом k является наименьшим u-v-потоком среди всех пар (u, v).

Если n — число вершин в графе, этот простой алгоритм работает за $O(n^{2})$ итераций алгоритма максимального потока, который, в свою очередь, решает задачу нахождения потока за время $O(n^{3})$. Таким образом, общая сложность алгоритма равна $O(n^{5})$.

Улучшенный алгоритм решает задачу максимального потока для любой пары (u, v), где u — произвольная фиксированная вершина, а v пробегает все оставшиеся вершины. Этот алгоритм уменьшает сложность до $O(n^{4})$. Если существует разрез размером меньше k, он отделяет u от некоторых других вершин. Можно улучшить алгоритм, если применить алгоритм Габова, работающий за время $O(n^{3})$.

Связанная задача, нахождение минимального k-рёберно-связного подграфа графа G (то есть выбрать насколько можно мало рёбер из G, которые образуют k-рёберно-связный подграф) является NP-трудной для $k\geq 2$.

См. также

• Вершинно k-связный граф
• Связный граф
• Препятствущее паросочетанию множество
• Теорема Менгера
• Теорема Роббинса