Словарная метрика на группе

Словарная метрика — способ задавать расстояния на конечнопорождённой группе.

Конструкция

Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих $F$ в конечнопорождённой группе $\Gamma$, то расстояние между элементами $g$ и $h$ — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное $g^{-1}h$.

Свойства

• Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
  • Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
• Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
• Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант $C_{1},C_{2}$ имеет место:

  $\forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{2}d_{2}(g,h).$.

• В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.

Вариации и обобщения

Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.

Ссылки

• J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4