Журнал фильтра правок

''''Теорема о неявной функции''' — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства '''неявной функции''', т.&nbsp;е. [[Функция (математика)|функции]] : <math>y=f(x)</math>, &nbsp;&nbsp;<math>f:X\to Y</math>, заданной уравнением : <math>F(x,y)=z_0</math>, &nbsp;&nbsp;<math>F:X\times Y\to Z</math> и значение <math>z_0\in Z</math> фиксированно. == Одномерный случай == Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем. {{рамка}} Если функция <math>F:\R\times\R\to\R</math> * [[Непрерывное отображение|непрерывна]] в некоторой окрестности точки <math>(x_0,y_0)</math> * <math>F(x_0,y_0)=0</math> и * При фиксированном <math>x</math>, функция <math>F(x,y)</math> [[монотонная функция|строго монотонна]] по <math>y</math> в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток <math> I=I_x \times I_y</math>, являющийся окрестностью точки <math>(x_0,y_0)</math>, и такая непрерывная функция <math>f:I_x\to I_y</math>, что для любой точки <math>(x,y) \in I</math> : <math>F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)</math> {{/рамка}} Обычно дополнительно предполагается что функция <math>F</math> непрерывно [[дифференцируемая функция|дифференцируема]], в этом случае условие монотнности следует из того что <math>F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad</math>, здесь <math>F_y'</math> обозначает [[частная производная|частную производную]] <math>F</math> по <math>y</math>. Более того, в этом случае, производная функции <math>f</math> может быть вычислена по формуле : <math>f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.</math> == Многомерный случай == Пусть <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> суть <math>n</math>- и <math>m</math>-мерные [[евклидово пространство|евклидовы пространства]] с фиксированными системами координат, точки которых соответственно <math>x=(x_1,\dots,x_n)</math> и <math>y=(y_1,\dots,y_m)</math>. Пусть <math>F</math> отображает некоторую окрестность <math>W</math> точки <math>(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m</math> в пространство <math>\R^m</math> и <math>F_1,F_2,...,F_m</math> — координатные функции (от переменных <math>x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m</math>) отображения <math>F</math>, то есть <math>F=(F_1,F_2,...,F_m)</math>. Если отображение <math>F</math> дифференцируемо на <math>W</math>, <math>F(x_0,y_0)=0</math>, а [[якобиан]] отображения <math>y\mapsto F(x_0,y)</math> не равен нулю в <math>y_0</math> то существуют окрестности <math>U</math> и <math>V</math> точек <math>x_0</math> и <math>y_0</math> соответственно в пространствах <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math>, <math>U\times V\subset W</math> и единственное отображение <math>f : U \to V</math> такие, что для всех <math>x\in U</math> выполняется условие <math>F(x, f(x)) = 0\in \R^m</math>. При этом <math>f(x_0)=y_0</math>. Более того, отображение <math>f</math> дифференцируемо на <math>U</math>. Неявная функция и ее дифференцирование Уравнение y  f(x) задает явно функцию от переменного. Если обозначить y  f x  F x,y , то уравнение F x,y  0 задает неявно ту же функцию. Например y  x2; y  sin x - явные функции, а уравнения y  x2  0, y  sin x  0 задают эти функции неявно. Переход от уравнения y  f(x) к F x,y  0 не вызывает затруднений, а 10 вот обратный переход, как правило, очень сложный или вообще невозможен. Например, уравнение x2  y2  9  0 разрешимо относительно y: y   9  x2 т.е., получили две явные функции. А вот уравнение y  x  arctg y  0 не удается разрешить относительно y (т.е. выразить y через x нельзя). Для того, чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно соотно- шением F x,y  0, мы: 1) находим производную от функции F(x;y) по переменной х, т.е. ( ;  ) d F x y x dx йл щы , считая у некоторой функцией, зависящей от х, т.е. считая у промежуточным аргументом, и приравниваем ее нулю: ( ;  ) 0 d F x y x dx йл щы  . (1) 2) из уравнения (1) находим y. Пример 1. Найти производную по х от функции у, заданной неявно соотно- шением: y  x  arctg y . Возьмем производную от обеих частей равенства, считая, что y  y(x): (y  x)  (arctg y), т.е. 2 1 1 1 y y y      . Отсюда найдем y:                             2 2 2 2 2 2 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y или Пример 2. x2  y2  1. Найти y. ( 2 2) (1) 2 2 0 x x y x yy y y             . Пример 3. x2  y2  sin xy  1  0. Найти y. Имеем (x2  y2  sin xy  1)  0, 2x  2yy  cos xy  (xy)  0 , 2x  2yy  (y  xy)cos xy  0, 2x  2yy  y cos xy  yx cos xy  0, y(2y  x cos xy)  2x  y cos xy, окончательно 11 2 cos 2 cos x y xy y y x xy      . Логарифмической производной функции y  f(x) называется производная от логарифма этой функции: или        йл щы  1 ( ) (ln ) ln ( ) ( ) y f x y y f x y y f x . Логарифмическое дифференцирование обычно применяется в двух случаях: 1) для дифференцирования показательно-степенных функций; 2) для дифференцирования функций, содержащих большое число сомножи- телей. Рассмотрим показательно-степенную функцию   ( ) ( ) v x y  u x . Например, y  xsin x, y  (tg x)x, y  xx . Выведем формулу для вычисления производной этой функции. Прологарифмируем обе части равенства y  uv , получим ln y  ln uv  ln y  vln u. Возьмем производную от обеих частей последнего равенства: 1 1 (ln y) (v ln u) y v ln u v u y u          . Найдем y: ln v ln v v y y v u u u v u u u u                    , т.е. y  uvv ln u  uvuv1. Это и есть формула производной от показательно- степенной функции. Пример1. y  xsin x . Найти y. Воспользуемся методом логарифмического дифференцирования ln y  ln xsin x, ln y  sin x ln x. Тогда (ln y)  (sin x ln x)  1 sin (sin ) ln sin (ln ) , cos ln y x y x x x x x x y y x          . Откуда находим y: sin sin sin cos ln x cos ln x x y y x x x x x x x                  . Пример 2. 2 4 2 3 ( 3) sin x 2 1 x x y e x    . Найдем y. Прологарифмируем обе части равенства: 2 4 2 3 ( 3) sin ln ln x 2 1 x x y e x    . 12 Учитывая, что 1 3 2x  1  (2x  1)3 , запишем: 2 1 ln y  ln(x  3)4  ln sin2 x  ln ex  ln(2x 1)3 или 2 1 ln 4 ln( 3) 2 ln sin ln ln(2 1) 3 y  x   x  x e  x  . Возьмем производную от обеих частей равенства, считая y  y(x). 1 4 2 cos 1 2 2 3 sin 3(2 1) x y x y x x x        , отсюда 4 2 2 ctg 2 3 6 3 y y x x x x              и окончательно 2 4 2 3 ( 3) sin 4 2 2 ctg 2 x 2 1 3 6 3 x x y x x e x x x                . {{math-stub}} [[Категория:Математический анализ]] [[Категория:Теоремы|неявной функции]] [[Категория:Дифференциальное исчисление многих переменных]] [[ca:Teorema de la funció implícita]] [[de:Satz von der impliziten Funktion]] [[en:Implicit function theorem]] [[es:Teorema de la función implícita]] [[fr:Théorème des fonctions implicites]] [[he:משפט הפונקציות הסתומות]] [[hu:Implicitfüggvény-tétel]] [[it:Teorema delle funzioni implicite]] [[nl:Impliciete functiestelling]] [[scn:Tiurema dâ funzioni mplicita]] [[zh:隐函数定理]]'