Журнал фильтра правок

'Вычисление [[Производная функции|производной]]&nbsp;— важнейшая операция в [[дифференциальное исчисление|дифференциальном исчислении]]. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций. В этих формулах ''f'' и ''g'' — произвольные дифференцируемые функции [[вещественная переменная|вещественной переменной]], а ''c''&nbsp;— вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой [[элементарная функция|элементарной функции]]. == Производные простых функций == : <math>{d \over dx} c = 0</math> : <math>{d \over dx} x = 1</math> : <math>{d \over dx} cx = c</math> : <math>{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0</math> : <math>{d \over dx} x^c = cx^{c-1},</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;когда <math>x^c\,\!</math> и <math>cx^{c-1}\,\!</math> определены, <math>c \ne 0</math> : <math>{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math> : <math>{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}</math> : <math>{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math> : <math>{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{-{n-1\over n}} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}</math> {| class="wikitable" |- ! заголовок 1 ! заголовок 2 ! заголовок 3 |- | строка 1, ячейка 1 | строка 1, ячейка 2 | строка 1, ячейка 3 |- | строка 2, ячейка 1 | строка 2, ячейка 2 | строка 2, ячейка 3 |} : <math>{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0</math> : <math>{d \over dx} e^x = e^x</math> : <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math> : <math>{d \over dx} \ln f(x) = f'(x)/f(x)</math> : <math>\frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ f'(x) }{ f(x) \ln(a)}.</math> == Производные [[тригонометрическая функция|тригонометрических]] и обратных тригонометрических функций == : <math>{d \over dx} \sin x = \cos x</math> : <math>{d \over dx} \cos x = -\sin x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}</math> : <math>{d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x</math> : <math>{d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x</math> : <math>{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math> : <math>{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math> : <math>{d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}</math> : <math>{d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = {-1 \over 1 + x^2}</math> : <math>{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> : <math>{d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> == Производные [[гиперболическая функция|гиперболических]] функций == : <math>{d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math> : <math>{d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math> == Правила дифференцирования общих функций == : <math>\left({cf}\right)' = cf'</math> : <math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math> : <math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math> : <math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> (известно как «правило [[Лейбниц]]а») : <math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math> : <math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0</math> : <math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'</math> — [[правило дифференцирования сложной функции|Правило дифференцирования сложной функции]] : <math>f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0</math> : <math>(f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f'</math> == См. также == * [[Таблица первообразных]] [[Категория:Дифференциальное исчисление]] [[Категория:Списки:Математика]] [[af:Lys van afgeleides]] [[bs:Tablica izvoda]] [[en:List of differentiation identities]] [[eu:Deribatu taula]] [[he:נגזרות]] [[hi:अवकलजों की सूची]] [[it:Regole di derivazione]] [[ko:미분표]] [[nl:Lijst van afgeleiden]] [[pl:Pochodna funkcji#Pochodne_funkcji_elementarnych]] [[pt:Tabela de derivadas]] [[ro:Tabel de derivate]] [[sl:Tabela odvodov]] [[sr:Таблица извода]] [[tr:Türev alma kuralları]] [[uk:Таблиця похідних]]'