Журнал фильтра правок

'@@ -1,50 +1,31 @@ -[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]] -'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} от {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный и {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — это [[четырёхугольник]], у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]. -== Свойства == -* Противоположные стороны параллелограмма равны. -* Противоположные углы параллелограмма равны. -* Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). -* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: -*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. -* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. -* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. -* [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. -* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда -*: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> ''' -: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. -* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. +Параллелограмм, его признаки и свойства -== Признаки параллелограмма == -[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): +Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. -# У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>. -# Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>. -# У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>. -# Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>. -# Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>. -# Сумма соседних углов равна 180 градусов: <math>\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ</math>. -# Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. -# Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>. +Теоремы (свойства параллелограмма): -== Площадь параллелограмма == -: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' -Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: -: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведенная к этой стороне. -Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на [[синус]] угла между ними: -: <math>S = ab\sin \alpha</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами a и b. + В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: AB = CD, BC = AD, \angle ABC = \angle ADC,\angle BAD = \angle BCD. -== См. также == -* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] -* [[Параллелепипед]] -* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] + Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, OB = OD. -== Примечания == -{{примечания}} + Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180^\circ . + Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. -{{rq|source}} -{{Многоугольники}} + Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC^2 + BD^2 = 2AB^2 + 2BC^2 . -[[Категория:Четырёхугольники]] +Признаки параллелограмма: + + Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. + + Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. + + Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. + + Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. + + Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника K,\;L,\;M,\;N являются вершинами параллелограмма Вариньона. + + Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. '