Просмотр отдельных изменений

'{{Механика сплошных сред}} '''Уравнение диффузии''' представляет собой частный вид [[дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]] в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным. В смысле интерпретации при решении ''уравнения диффузии'' речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении ''уравнения теплопроводности'' речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной). Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время. Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики. * Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является [[уравнение Шрёдингера]], отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно. == Общий вид == Уравнение обычно записывается так: {{Equation box 1 |equation=<math>\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\mathbf{r}) \ \nabla\phi(\mathbf{r},t) \big], </math> |indent=: |cellpadding |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}} где ''ϕ''('''r''', ''t'') — плотность диффундирующего вещества в точке '''r''' и во время ''t'' и ''D''(''ϕ'', '''r''') — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности ''ϕ'' в точке '''r'''; ∇ оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно. Если ''D'' симметричный положительно оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию: {{Equation box 1 |equation=<math>\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\phi,\mathbf{r})\frac{\partial \phi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right]</math> |indent=: |cellpadding |border |border colour = #50C878 |background colour=#ECFCF4}} Если ''D'' постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению: : <math>\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t), </math> также называемому [[Уравнение теплопроводности|уравнением теплопроводности]]. == История происхождения == [[Закон диффузии Фика|дифференциальное уравнение в частных производных]] было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.<ref>A. Fick, ''Ueber Diffusion'', Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).</ref> == Нестационарное уравнение == ''Нестационарное'' уравнение диффузии классифицируется как [[Параболические уравнения|'''параболическое''' дифференциальное уравнение]]. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие [[диффузия|диффузии]] или перераспределение [[температура|температуры]] тела в результате [[теплопроводность|теплопроводности]]. === Одномерный случай === В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) <math>D</math> уравнение имеет вид: : <math>\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).</math> При постоянном <math>D</math> приобретает вид: : <math>\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),</math> где <math>c(x,\;t)</math> — концентрация диффундирующего вещества, a <math>f(x,\;t)</math> — функция, описывающая источники вещества (тепла). === Трёхмерный случай === В трёхмерном случае уравнение приобретает вид: : <math>\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t),</math> где <math>\nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z)</math> — [[оператор набла]], а <math>(\;,\;)</math> — скалярное произведение. Оно также может быть записано как : <math>\partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f,</math> а при постоянном <math>D</math> приобретает вид: : <math>\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t),</math> где <math>\Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math> — [[оператор Лапласа]]. === ''n''-мерный случай === <math>n</math>-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать <math>n</math>-мерные версии соответствующих операторов: : <math>\nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n),</math> : <math>\Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2.</math> Это касается и двумерного случая <math>n=2</math>. === Мотивировка === ==== A. ==== Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности): : <math>\Phi=\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}</math> (одномерный случай), : <math>\mathbf j=\varkappa\nabla c</math> (для любой размерности), в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии): : <math>\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0</math> (одномерный случай), : <math>\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0</math> (для любой размерности), с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость). * Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии). ==== B. ==== Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или <math>n</math>-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции <math>c</math> в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью). === Решение === '''В одномерном случае''' [[Функция Грина|фундаментальное решение]] однородного уравнения с постоянным — не зависящем от <math>x</math> и <math>t</math> — <math>D</math> (при начальном условии, выражаемом [[дельта-функция|дельта-функцией]] <math>c_f(x,\;0)=\delta(x)</math> и граничном условии <math>c_f(\infty,\;t)=0</math>) есть : <math>c_f(x,\;t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).</math> В этом случае <math>c_f(x,\;t)</math> можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время <math>t</math> перейдёт в пункт с координатой <math>x</math>. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки : <math>\langle x^2\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 c_f(x,\;t)\,dx=2Dt.</math> <!--Такому параболическому закону подчиняется, например, рост окисных плёнок на поверхностях металлов при высоких температурах. Необходимым условием при этом является достаточное количество кислорода в окружающей среде. (это я убрал, так как не выглядит прямо относящимся к делу — граничные условия другие, да и слишком частный пример к тому же. Сергей Сашов)--> В случае произвольного начального распределения <math>c(x,\;0)</math> общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как [[Свёртка_(математический_анализ)|свёртка]]: : <math>c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)c_f(x-x',\;t)\,dx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4Dt}\right)\,dx'.</math> === Физические замечания === Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы). Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях. == Стационарное уравнение == В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается '''стационарное уравнение теплопроводности''', относящееся к классу [[Эллиптические уравнения|эллиптических уравнений]]. Его общий вид: : <math>-(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}).</math> * При <math>D</math>, не зависящем от <math>\vec{r}</math>, стационарное уравнение диффузии становится [[уравнение Пуассона|уравнением Пуассона]] (неоднородное), или [[уравнение Лапласа|уравнением Лапласа]] (однородное, то есть при <math>f=0</math>): : <math>\Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D},</math> : <math>\Delta c(\vec{r})=0.</math> == Постановка краевых задач == * '''Задача с начальными условиями ([[задача Коши]]) о распределении температуры на бесконечной прямой''' Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур. ''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>-\infty\leqslant x\leqslant +\infty</math> и <math>t\geqslant t_0</math>, удовлетворяющее условию <math>u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty<x<+\infty)</math>, где <math>\varphi(x)</math> — заданная функция.'' * '''Первая краевая задача для полубесконечного стержня''' Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий. ''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>-\infty\leqslant x\leqslant +\infty</math> и <math>t\geqslant t_0</math>, удовлетворяющее условиям : <math>\left\{\begin{array}{l} u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0<x<\infty) \\ u(0,\;t)=\mu(t),\quad(t\geqslant t_0) \end{array}\right.</math> где <math>\varphi(x)</math> и <math>\mu(t)</math> — заданнные функции.'' * '''Краевая задача без начальных условий''' Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные. ''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>0\leqslant x\leqslant l</math> и <math>-\infty<t</math>, удовлетворяющее условиям : <math>\left\{\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right.</math> где <math>\mu_1(t)</math> и <math>\mu_2(t)</math> — заданнные функции. * '''Краевые задачи для ограниченного стержня''' Рассмотрим следующую краевую задачу: : <math>u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T</math> — уравнение теплопроводности. Если <math>f(x,\;t)=0</math>, то такое уравнение называют ''однородным'', в противном случае — ''неоднородным''. : <math>u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l</math> — начальное условие в момент времени <math>t=0</math>, температура в точке <math>x</math> задается функцией <math>\varphi(x)</math>. : <math>\left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T</math> — краевые условия. Функции <math>\mu_1(t)</math> и <math>\mu_2(t)</math> задают значение температуры в граничных точка 0 и <math>l</math> в любой момент времени <math>t</math>. В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай (<math>\alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2)</math>). : <math>\begin{array}{l} \alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}</math> Если <math>\alpha_i=0,\;(i=1,\;2)</math>, то такое условие называют ''условием первого рода'', если <math>\beta_i=0,\;(i=1,\;2)</math> — ''второго рода'', а если <math>\alpha_i</math> и <math>\beta_i</math> отличны от нуля, то условием ''третьего рода''. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую. == [[Принцип максимума модуля|Принцип максимума]] == Пусть функция <math>u(x,\;t)</math> в пространстве <math>D\times[0,\;T],\;D\in\R^n</math>, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности <math>\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0</math>, причем <math>D</math> — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция <math>u(x,\;t)</math> может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области <math>D</math>. {{rq|topic=math|sources|img}} [[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Диффузии уравнение]] [[Категория:Диффузия]] [[ca:Equació de difusió]] [[en:Diffusion equation]] [[es:Ecuación de difusión]] [[it:Leggi di Fick]] [[ja:拡散方程式]] [[pt:Equação de difusão]] [[uk:Рівняння дифузії]] [[zh:扩散方程]]'