Просмотр отдельных изменений
Эта страница позволяет вам проверить переменные, сгенерированные фильтром злоупотреблений, на предмет отдельного изменения.
Переменные, созданные для этого изменения
Переменная | Значение |
---|---|
Имя учётной записи (user_name ) | '213.109.59.96' |
ID страницы (page_id ) | 0 |
Пространство имён страницы (page_namespace ) | 0 |
Название страницы (без пространства имён) (page_title ) | 'Модель Хестона' |
Полное название страницы (page_prefixedtitle ) | 'Модель Хестона' |
Действие (action ) | 'edit' |
Описание правки/причина (summary ) | '' |
Была ли правка отмечена как «малое изменение» (больше не используется) (minor_edit ) | false |
Вики-текст старой страницы до правки (old_wikitext ) | '' |
Вики-текст новой страницы после правки (new_wikitext ) | '== Модель стохастической волатильности Хестона ==
(Сергей Михайлов - Оценка опционов в моделях стохастической волатильности.http://www.0-forex.ru/414.html)''формулы не копируются, смотрите на сайте''
Модель, предложенная Хестоном, обобщает модель Black-Scholes (1973) и включает её как специальный случай. В постановке Хестона учитывается нелогнормальное распределение цен активов, эффект отрицательной корреляции волатильности и относительных доходностей, свойство волатильности возвращаться к равновесным уровням, и при этом модель Хестона имеет аналитические решения для стандартных опционов. Поверхности имплицитной волатильности, генерируемые моделью Хестона, с высокой точностью совпадают с реальными поверхностями имплицитной волатильности. Сложности возникают с оценкой опциона по риск-нейтральной мере. Так как модель незавершённая - невозможно построить безрисковый портфель из опциона и акции.
Далее описывается модель стохастической волатильности Хестона и даются некоторые детали для вычисления цен опционов.
Используются следующие обозначения:
- спотовая цена акции, финансового индекса…..
- вариация
- цена европейского опциона колл
- страйк
- стандартные винеровские процессы
- ставка по безрисковому депозиту
- поток дивидендов
- cкорость возвращения к равновесной вариации
- равновесная вариация
- начальная вариация
- волатильность вариации
- параметр корреляции
- текущая дата
- дата исполнения опциона.
Модель стохастической волатильности Хестона (1993) определяется двумя стохастическими уравнениями
Стохастические процессы коррелированны . Модель для вариации является процессом квадратного корня Feller (1951) и Cox, Ingersoll and Ross (1985). Для процесса вариация всегда положительна и если то вариация не достигает нуля. Решение уравнения для среднего
.
Отметим, что детерминированная часть процесса асимптотически устойчива, если . Ясно, что положение равновесия равно .
Уравнение не имеет аналитического решения. Но переходная плотность распределения известна. Она определяется нецентральным хи-квадрат распределением.
Применяя лемму Ito и стандартные арбитражные аргументы, мы получаем уравнение в частных производных Гармана
со следующими терминальными
и граничными условиями
где рыночная цена риска, связанного с волатильностью.
Хестон строит решение уравнения в частных производных не прямым способом, а с использованием метода характеристических функций. Он ищет решение в форме, соответствующей модели Black-Scholes
,
где дельта европейского опциона колл и является условной риск-нейтральной вероятностью, что цена на актив будет больше чем в момент исполнения опциона. Обе вероятности также удовлетворяют уравнению . При условии, что характеристические функции известны, величины определяются через обратное преобразование Фурье
Хестон ищет характеристические функции в виде
После подстановки в уравнении Гармана мы получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для неизвестных функций и :
с нулевыми начальными условиями
Решением системы определяется выражениями
где
6 Реализация модели стохастической волатильности Хестона
6.1 Вычисление интеграла Фурье
Обратное преобразование Фурье - критический пункт в реализации численного алгоритма оценки опциона по известной характеристической функции. Комплексные числа могут быть легко реализованы при использовании класса complex<> из C ++ стандартной библиотеки. Поскольку интеграл должен вычисляться с высокой точностью для широкого диапазона параметров (параметры стохастического процесса, различные страйки и времена экспирации), мы решили использовать адаптивную квадратуру для первой попытки. Адаптивный алгоритм может сам приспособиться к изменениям в подынтегральном выражении, избавляя от необходимости контролировать шаг интегрирования. Мы использовали адаптивный Simpson и адаптивную квадратуру Gauss-Lobatto, которые дали хорошие результаты, при этом алгоритм Gauss-Lobatto быстрее при заданной точности. Но, поиграв с моделью, мы остановились на оптимизированном методе Gauss с фиксированным шагом интегрирования для более быстрого вычисления.
6.2 Ловушки комплексного логарифма
Из-за того, что комплексный логарифм является многозначной функцией,
где целое число, обычно ограничиваются его главным значением , полагая . Этот выбор используется в стандартной C++ log(z) функции, и она разрывная при пересечении отрицательной реальной оси.
Рисунок 1. Реальная и мнимая части главного значения комплексного логарифма
Сначала мы имели проблемы с числовой реализацией комплексного логарифма. Но после реализации кода с комплексным логарифмом, который сохраняет непрерывность функции при переходе через отрицательную реальную ось, результаты наших трех различных числовых подходов (моделирование по методу Монте-Карло, метод конечных разностей и аналитическое решение) совпали, и это дало нам уверенность двигаться дальше.
(--~~~~)' |
Была ли правка сделана через выходной узел сети Tor (tor_exit_node ) | 0 |
Unix-время изменения (timestamp ) | 1271098648 |