Просмотр отдельных изменений

'[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]] '''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} от {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный и {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — это [[четырёхугольник]], у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]. == Свойства == [[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] [[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.]] * Противолежащие стороны параллелограмма равны. * Противолежащие углы параллелограмма равны. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). * Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: *: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. * Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. * Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. * [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. * [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть ''а'' — длина стороны ''AB'', ''b'' — длина стороны ''BC'', <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда *: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> ''' : Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. * [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. == Признаки параллелограмма == [[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): # У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>. # Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>. # У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>. # Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>. # Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>. # Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. # Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>. == Площадь параллелограмма == : ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: : <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведенная к этой стороне. Пшапин лох [[синус]] угла между ними: : <math>S = ab\sin \alpha,</math> : где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: : <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> : где <math>p=(a+b+d)/2.</math> == См. также == * [[Параллелепипед]] * [[Прямоугольник]] * [[Ромбоид]] * [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] * [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] == Примечания == {{примечания}} {{rq|source}} {{Многоугольники}} [[Категория:Четырёхугольники]]'