Просмотр отдельных изменений

'[[Файл:Parallelogramm.png|right|frame|Параллелограмм]]'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} от {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный и {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — это [[четырёхугольник]], у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]. == Свойства == * Противоположные стороны параллелограмма равны. *: <math>\left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|</math>. * Противоположные углы параллелограмма равны. *: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D.</math> * Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. *: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. * Любая диагональ делит параллелограмм на 2 равных треугольника. * Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. * Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. * Сумма всех углов равна 360°. * Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда : '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math>''' {{Hider| title = Доказательство| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Проведя диагональ ''BD'', мы получим два треугольника: ''ABD'' и ''BCD'', которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне ''BD'' равны как накрест лежащие при параллельных прямых <math>AB||CD</math>, <math>BC||AD</math>, где ''BD'' - секущая. Из равенства треугольников следует: <math>|AB| = |CD|, |AD| = |BC|</math> и ∠''A'' = ∠''С'' Противоположные углы ∠''B'' и ∠''D'' также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов. Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠''A'' и ∠''D'', дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых. По теореме косинусов: '''<math>d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle A.</math>''' Поскольку '''<math> \cos\angle D = -\cos\angle A</math>''', то '''<math>d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle A.</math>''' Складывая полученные равенства: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math>''' }} * [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. == Признаки параллелограмма == [[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: # Противоположные стороны попарно равны: <math>~AB = CD, AD = BC</math>. # Противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>. # Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>~AO = OC, BO = OD</math>. # Сумма соседних углов равна 180 градусов: <math>\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ</math>. # Противоположные стороны равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>. # Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. # Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: <math>~AC^2+BD^2 = 2AB^2+2BC^2</math> == Площадь параллелограмма == : <math>S = a \times h</math> , где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне. : <math>S = a \times b \times \sin \alpha</math>, где a и b — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами a и b. : <math>S = \frac{1}{2} AC \times BD \times \sin \angle AOB</math>. == См. также == * [[Трапеция]] * [[Прямоугольник]] * [[Ромб]] * [[Дельтоид]] * [[Параллелепипед]] * [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] {{Многоугольники}} [[Категория:Многоугольники]] [[ar:متوازي أضلاع]] [[ast:Paralelogramu]] [[az:Paraleloqram]] [[be:Паралелаграм]] [[be-x-old:Паралелаграм]] [[bg:Успоредник]] [[bs:Paralelogram]] [[ca:Paral·lelogram]] [[cs:Rovnoběžník]] [[da:Parallelogram]] [[de:Parallelogramm]] [[dsb:Paralelogram]] [[el:Παραλληλόγραμμο]] [[en:Parallelogram]] [[eo:Paralelogramo]] [[es:Paralelogramo]] [[et:Rööpkülik]] [[eu:Paralelogramo]] [[fa:متوازی‌الاضلاع]] [[fi:Suunnikas]] [[fr:Parallélogramme]] [[he:מקבילית]] [[hr:Paralelogram]] [[hsb:Runoběžnik]] [[hu:Paralelogramma]] [[hy:Զուգահեռագիծ]] [[id:Jajar genjang]] [[it:Parallelogramma]] [[ja:平行四辺形]] [[jv:Jajaran génjang]] [[ka:პარალელოგრამი]] [[kk:Параллелограмм]] [[km:ប្រលេឡូក្រាម]] [[ko:평행사변형]] [[la:Parallelogramma]] [[lmo:Paralelogràm]] [[lt:Lygiagretainis]] [[lv:Paralelograms]] [[mhr:Параллелограмм]] [[mr:समांतरभुज चौकोन]] [[nl:Parallellogram]] [[nn:Parallellogram]] [[no:Parallellogram]] [[pl:Równoległobok]] [[pms:Paralelograma]] [[pt:Paralelogramo]] [[ro:Paralelogram]] [[scn:Paralleluggramma]] [[simple:Parallelogram]] [[sl:Paralelogram]] [[sn:Gonyaina sambamba]] [[sq:Paralelogrami]] [[sr:Паралелограм]] [[su:Pasagi doyong]] [[sv:Parallellogram]] [[ta:இணைகரம்]] [[th:รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]] [[tr:Paralelkenar]] [[uk:Паралелограм]] [[vi:Hình bình hành]] [[vls:Parallellogram]] [[zh:平行四边形]]'