Среднетоновый строй

Среднето́новый строй (нем. mitteltönige Stimmung, англ. meantone tuning) или среднето́новая темпера́ция — музыкальный строй, основанный на последовательной цепи квинт, каждая из которых темперирована (уменьшена по сравнению с акустически чистой на одну и ту же величину). Таким образом, в среднетоновом строе все квинты имеют одно и то же отношение частот звуков (такое свойство строя часто также называют регулярностью^[1]). Характерной особенностью среднетоновых строёв является наличие в них «средних целых тонов» (отсюда и название): в таких строях большая секунда является точной половиной большой терции.

Особое место среди среднетоновых строёв занимает строй, в котором все квинты темперированы на 1/4 дидимовой коммы: в нём большие терции, получаемые в результате откладывания четырёх темперированных таким образом квинт, оказываются акустически чистыми. Часто термин «среднетоновый» относят именно к этому строю.

Терминология и исторические замечания

Величина, на которую темперируются квинты в среднетоновом строе, специфицируется в его названии, причём она обычно выражается в долях дидимовой коммы: например, «среднетоновый строй на 2/7 коммы» (англ. 2/7-comma meantone) — это строй, в котором все квинты в квинтовой цепи темперированы (уменьшены) на 2/7 (дидимовой) коммы. Определение среднетонового строя на 2/7 коммы у Дж. Царлино (1558)^[2] является первым документальным математически строгим описанием темперированного строя (в собственном смысле этого термина)^[3].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы (англ. 1/4-comma meantone или quarter-comma meantone) был впервые описан Дж. Царлино (1571)^[4] и Ф. Салинасом (1577)^[5]. М. Преториус (1619)^[6] дал как практический метод настройки органа в среднетоновом строе на 1/4 коммы, так и весьма полное теоретическое описание последнего. В связи с этим данный строй также получил название «преторианского» (преториева, нем. prätorianische Stimmung), особенно употребительное в немецкой литературе, начиная с XVII века (у А. Веркмейстера и др.).

Средний целый тон (большая секунда) «преторианского» строя, в отличие от большего (9:8) и меньшего (10:9) целых тонов чистого строя, является точной половиной чистой большой терции (5:4), и, кроме того, является средним между бо́льшим и меньшим целыми тонами.

Согласно общему определению, к среднетоновым строям относится и равномерно темперированный, поскольку в нём все квинты темперированы на одну и ту же величину — 1/12 пифагоровой коммы^[7]. Целый тон в равномерно темперированном строе является средним, деля ровно пополам равномерно темперированную большую терцию^[8].

В русской научно-популярной литературе (например, у А. М. Волконского) вместо термина «среднетоновый» встречается также термин «мезотонический», являющийся морфологической передачей французского и итальянского терминов (фр. Tempérament mésotonique, итал. Temperamento mesotonico)^[9].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы («преторианский»)

Теоретическая основа

Если в цепочке из четырёх квинт — например,

C-G-d-a-e₁,

все квинты настроены чисто (имеют соотношение звуковых частот 3:2), то большая терция C-E, образованная «по её краям» (с учётом переноса звука e₁ на две октавы вниз имеет соотношением звуковых частот 81:64), оказывается большой терцией пифагорейского строя (дитоном). Большая терция пифагорейского строя шире более благозвучной большой терции чистого строя (5:4) на дидимову комму (81:80). Следовательно, если каждую квинту в приведённой цепочке темперировать (почти неощутимо для слуха изменить) с уменьшением на 1/4-ю часть дидимовой коммы, то большая терция через две октавы C-e₁ по краям цепочки будет чисто настроенным, то есть звучащим без биений интервалом натурального звукоряда между обертонами 1 и 5. Соотношение звуковых частот 1/4-й части дидимовой коммы равно

{\sqrt[{4}]{\frac {81}{80}}}={\sqrt[{4}]{\frac {3^{4}}{2^{4}\cdot 5}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}

,

что делает соотношение звуковых частот среднетоновой квинты (квинты, уменьшенной на 1/4-ю часть дидимовой коммы), равным

{\frac {3}{2}}:\left({\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\right)={\sqrt[{4}]{5}}

^[10], или 696,5784 цента.

Сравнение с интервалами чистого строя

В следующей таблице приведены сравнения основных интервалов «преторианского» строя с интервалами чистого строя. Символом $\beta$ обозначено отношение частот ¼ коммы^[11].

Интервал среднетонового строя на ¼ коммы	Q	O	Отношение частот	Связь с интервалами чистого строя		Величина в центах
увеличенная прима, хроматический полутон	7	-4	${\frac {25}{16{\sqrt[{4}]{5}}}}$	$\ ={\frac {25}{24}}\beta$	превосходит меньший хроматический полутон чистого строя (25:24) на ¼ коммы	76,05
малая секунда, диатонический полутон	-5	3	${\frac {8}{5{\sqrt[{4}]{5}}}}$	$\ ={\frac {16}{15}}\beta$	превосходит меньший диатонический полутон чистого строя (16:15) на ¼ коммы	117,11
большая секунда, (средний) целый тон	2	-1	${\frac {\sqrt {5}}{2}}$	$\ ={\frac {10}{9}}\beta ^{2}={\frac {9}{8}}:\beta ^{2}=$ $\ ={\sqrt {{\frac {10}{9}}\cdot {\frac {9}{8}}}}={\sqrt {\frac {5}{4}}}$	больше меньшего целого тона (10:9) на ½ коммы и меньше большего целого тона (9:8) на ½ коммы; средний между этими целыми тонами; точная половина чистой большой терции (5:4)	193,16
малая терция	-3	2	${\frac {4}{5}}{\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {6}{5}}:\beta$	меньше чистой малой терции (6:5) на ¼ коммы	310,26
большая терция	4	-2	${\frac {5}{4}}$		является чистой большой терцией	386,31
кварта	-1	1	${\frac {2}{\sqrt[{4}]{5}}}$	$\ ={\frac {4}{3}}\beta$	превосходит чистую кварту (4:3) на ¼ коммы	503,42
квинта	1	0	${\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {3}{2}}:\beta$	меньше чистой квинты (3:2) на ¼ коммы	696,58
малая секста	-4	3	${\frac {8}{5}}$		является чистой малой секстой	813,69
большая секста	3	-1	${\frac {5}{2{\sqrt[{4}]{5}}}}$	$\ ={\frac {5}{3}}\beta$	больше чистой большой сексты (5:3) на ¼ коммы	889,74

Построение

Основной тон: C, начало построения Es и далее по квинтовому кругу

Построение звукоряда можно произвести как и в пифагорейском строе, только взяв в качестве основы не чистую квинту, а среднетоновую, которая имеет отношение частот:

${\frac {3}{2}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}25}$ , то есть такая среднетоновая квинта примерно на 5 центов у́же чистой.

Обозначение ноты	Отношение частоты к тонике
Es	${\frac {8}{27}}\cdot \left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}75}\cdot 4$
B	${\frac {4}{9}}\cdot \left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}5}\cdot 4$
F	${\frac {2}{3}}\cdot \left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}25}\cdot 2$
C	${\frac {1}{1}}=1$
G	${\frac {3}{2}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}25}$
D	${\frac {9}{4}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}5}\cdot {\frac {1}{2}}$
A	${\frac {27}{8}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}75}\cdot {\frac {1}{2}}$
E	${\frac {81}{16}}:{\frac {81}{80}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}$
H	${\frac {243}{32}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{1{,}25}\cdot {\frac {1}{4}}$
Fis	${\frac {729}{64}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{1{,}5}\cdot {\frac {1}{8}}$
Cis	${\frac {2187}{128}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{1{,}75}\cdot {\frac {1}{16}}$
Gis	${\frac {6561}{256}}:\left({\frac {81}{80}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{16}}={\frac {25}{16}}$

Таким образом можно получить следующие интервалы

Восемь чистых больших терций: Es-G, B-D, F-A, C-E, G-H, D-Fis, A-Cis, E-Gis
Одиннадцать среднетоновых квинт: Es-B, B-F, F-C, C-G, G-D, D-A, A-E, E-H, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
Одну увеличенную волчью квинту (уменьшённую сексту): Gis-Es с соотношением частот

2\cdot {\frac {32}{27}}\cdot \left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}75}\cdot {\frac {16}{25}}={\frac {1024}{675}}\cdot \left({\frac {81}{80}}\right)^{0{,}75}\approx {\frac {3{,}0625}{2}}\approx 737{,}64\,\mathrm {Cent}

Четыре несколько завышенных больших терций (уменьшенные кварты): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C

{\frac {32}{25}}\approx 427{,}37\,\mathrm {Cent}

Наличие завышенных терций связано с наличием малой диесы, то есть с неравенством трёх больших терций одной октаве.

Другие среднетоновые строи

Примечания

↑ Термин восходит к en:Р. Бозанкету. В другой терминологии (особенно присущей современной математической теории музыкальных строёв), регулярным строем (темперацией) называют абстрактно-математический строй, состоящий из бесконечного количества звуков (ступеней), относительные частоты которых образуют (естественным образом) конечнопорождённую свободную абелеву группу — ср., например, en:Regular Temperament.
↑ Istitutioni harmoniche (1-е изд., 1558) II, 42—47.
↑ См., например, Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. — NY: Cambridge University Press, 2002. — P. 193—222. — ISBN 0521623715.
↑ Dimostrationi harmoniche (1-е изд., 1571), p. 263—269. В литературе, начиная с А. Дж. Эллиса, долгое время господствовало мнение о том, что среднетоновый строй на 1/4 коммы был впервые описан П. Аароном в последней главе книги Il Toscanello della Musica (1523). Однако описание Аарона имеет общий характер, без указания величин темперации. Его требование делать терции «звучными и чистыми, то есть слитными, насколько возможно» (sonora & giusta, cioe unita al suo possibile) нельзя всегда понимать буквально как требование их акустической чистоты (5:4), поскольку далее он явно указывает на их темперированность в своей настройке (per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste). См. подробный анализ темперации П. Аарона, например, в статье Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. — 1974. — Т. 28. — P. 129—151.; JSTOR 20532169. Кроме того, Царлино, определяя среднетоновый строй с темперациями квинт на 1/4 коммы, называет его новым.
↑ De musica libri septem, Liber III, Cap. XIII—XIV. Салинас отмечает, что к этому строю он пришёл независимо от Царлино: «Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem» («В молодости, когда я был в Риме, мне казалось, что это [именно] я изобрёл, а позже я обнаружил, что это же изложил Дж. Царлино, и то, что он изложил, ни в чём не отличалось от того, что изобрел я».) Поездка Салинаса в Рим состоялась в 1538 году — задолго до публикации им и Царлино описания среднетонового строя на 1/4 коммы.
↑ Syntagma Musicum, T. II De Organographia, IV Theil, Cap. IV
↑ Поскольку 1/12 часть пифагоровой коммы практически равна 1/11 части дидимовой (разность между этими частями комм составляет менее 0,00012 цента), равномерно темперированный строй многими авторами также классифицируется как среднетоновый строй на 1/11 (дидимовой) коммы — отличие такого строя от точно рассчитанного равномерно-темперированного имеет лишь формально-математический характер.
↑ Иногда формально-математически к среднетоновым строям относят и пифагоров строй, в котором все квинты в квинтовой цепи — чистые, то есть не темперированы или, другими словами, «темперированы на нулевую величину». С такой точки зрения пифагоров строй является «среднетоновым строем на 0 долей коммы». Целый тон пифагорова строя (9:8) является точной половиной дитона, то есть большой терции пифагорова строя (81:64).
↑ В английской научной литературе конца XIX — начала XX века также употреблялся термин mesotonic (например, А. Дж. Эллисом).
↑ Соотношение частот звуков $x$ квинты «преторианского» строя можно также получить из уравнения $x^{4}\,:\,(2/1)^{2}=5/4$ , выражающего соотношение «четыре квинты „преторианского“ строя без двух октав дают большую терцию чистого строя».
↑ То есть $\beta ={\sqrt[{4}]{\frac {81}{80}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}$ .

Ссылки

Практические способы настройки музыкального инструмента на слух (англ.):
- Quarter-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/4 коммы («преторианском»)
- Third-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/3 коммы
- Sixth-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/6 коммы

Литература

Волконский, А. Основы темперации. — М.: Композитор, 1998.
Lindley, M. Historical Survey of Meantone Temperaments to 1620 // Early Keyboard Journal. — 1990. — Т. 8.
Leedy, D. A Venerable Temperament Rediscovered // Perspectives of New Music. — Vol. 29, No. 2 (Summer, 1991), pp. 202–211 (JSTOR #833439)
Lindley, M. Fifteenth-Century Evidence for Meantone Temperament // Proceedings of the Royal Musical Association. — (1975—1976). — Т. 102. — P. 37—51. (JSTOR #766092)
Lindley, M. Lutes, viols, and temperaments. — Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1984. — P. 43—66. — ISBN 0521288835.
Lindley M., Turner-Smith R. F. Mathematical models of musical scales: a new approach. — Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. — P. 52—54. — ISBN 3922626661.
Lindley, M. Zarlino's 2/7-comma meantone temperament // Music in Performance and Society. Essays in Honor of Roland Jackson (Detroit Monographs in Musicology) / M. Cole and J. Koegel, ed.. — Michigan: Harmonie Park Press, 1997. — ISBN 0899901069.
Barbour, J. Murray. Tuning and Temperament: A Historical Survey. — New York: Dover Publications, 2004. — P. 25—44. — ISBN 0486434060. (Репринт первого издания 1951 г., East Lancing, Michigan State College Press)

[1] Термин восходит к en:Р. Бозанкету. В другой терминологии (особенно присущей современной математической теории музыкальных строёв), регулярным строем (темперацией) называют абстрактно-математический строй, состоящий из бесконечного количества звуков (ступеней), относительные частоты которых образуют (естественным образом) конечнопорождённую свободную абелеву группу — ср., например, en:Regular Temperament.

[2] Istitutioni harmoniche (1-е изд., 1558) II, 42—47.

[3] См., например, Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. — NY: Cambridge University Press, 2002. — P. 193—222. — ISBN 0521623715.

[4] Dimostrationi harmoniche (1-е изд., 1571), p. 263—269. В литературе, начиная с А. Дж. Эллиса, долгое время господствовало мнение о том, что среднетоновый строй на 1/4 коммы был впервые описан П. Аароном в последней главе книги Il Toscanello della Musica (1523). Однако описание Аарона имеет общий характер, без указания величин темперации. Его требование делать терции «звучными и чистыми, то есть слитными, насколько возможно» (sonora & giusta, cioe unita al suo possibile) нельзя всегда понимать буквально как требование их акустической чистоты (5:4), поскольку далее он явно указывает на их темперированность в своей настройке (per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste). См. подробный анализ темперации П. Аарона, например, в статье Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. — 1974. — Т. 28. — P. 129—151.; JSTOR 20532169. Кроме того, Царлино, определяя среднетоновый строй с темперациями квинт на 1/4 коммы, называет его новым.

[5] De musica libri septem, Liber III, Cap. XIII—XIV. Салинас отмечает, что к этому строю он пришёл независимо от Царлино: «Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem» («В молодости, когда я был в Риме, мне казалось, что это [именно] я изобрёл, а позже я обнаружил, что это же изложил Дж. Царлино, и то, что он изложил, ни в чём не отличалось от того, что изобрел я».) Поездка Салинаса в Рим состоялась в 1538 году — задолго до публикации им и Царлино описания среднетонового строя на 1/4 коммы.

[6] Syntagma Musicum, T. II De Organographia, IV Theil, Cap. IV

[7] Поскольку 1/12 часть пифагоровой коммы практически равна 1/11 части дидимовой (разность между этими частями комм составляет менее 0,00012 цента), равномерно темперированный строй многими авторами также классифицируется как среднетоновый строй на 1/11 (дидимовой) коммы — отличие такого строя от точно рассчитанного равномерно-темперированного имеет лишь формально-математический характер.

[8] Иногда формально-математически к среднетоновым строям относят и пифагоров строй, в котором все квинты в квинтовой цепи — чистые, то есть не темперированы или, другими словами, «темперированы на нулевую величину». С такой точки зрения пифагоров строй является «среднетоновым строем на 0 долей коммы». Целый тон пифагорова строя (9:8) является точной половиной дитона, то есть большой терции пифагорова строя (81:64).

[9] В английской научной литературе конца XIX — начала XX века также употреблялся термин mesotonic (например, А. Дж. Эллисом).

[10] Соотношение частот звуков $x$ квинты «преторианского» строя можно также получить из уравнения $x^{4}\,:\,(2/1)^{2}=5/4$ , выражающего соотношение «четыре квинты „преторианского“ строя без двух октав дают большую терцию чистого строя».

[11] То есть $\beta ={\sqrt[{4}]{\frac {81}{80}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Среднетоновый строй

Содержание

Терминология и исторические замечания