Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось ($a$),
• эксцентриситет ($e$),
• наклонение ($i$),
• долгота восходящего узла ($\Omega$),
• аргумент перицентра ($\omega$),
• средняя аномалия ($M_{o}$).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось $a$ положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса.

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: $a=-{\frac {GMm}{2E}}$. Связана с положением и скоростью тела соотношением ${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}$, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела.

Эксцентриситет

Основная статья: Эксцентриситет орбиты

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «$e$» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$, где $b$ — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины $\varepsilon$ орбита представляет собой:

• $\varepsilon =0$ — окружность
• $0<\varepsilon <1$ — эллипс
• $\varepsilon =1$ — параболу
• $1<\varepsilon <\infty$ — гиперболу, $b$ — мнимое число
• $\varepsilon =\infty$ — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Запрос «Наклонение (астрономия)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

$A$ – объект
$B$ – центральный объект
$C$ – плоскость отсчёта
$D$ – плоскость орбиты
 $i$  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если $0^{\circ }<i<90^{\circ }$, то движение небесного тела называется прямым.

Если $90^{\circ }<i<180^{\circ }$, то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Запрос «Долгота восходящего узла»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

$\mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)$

$\Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);$

$\Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).$

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Запрос «Аргумент перицентра»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ($\omega$).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\bar {\omega }}$. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным.

Средняя аномалия

Запрос «Средняя аномалия»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия $M$ вычисляется по следующим формулам:

$M=M_{0}+n(t-t_{0})$

где:

• $M_{0}$ — средняя аномалия на эпоху $t_{0}$,
• $t_{0}$ — начальная эпоха,
• $t$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• $n$ — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

$M=E-e\cdot \sin E$

где:

• $E$ — эксцентрическая аномалия ($E$ на рис.3),
• $e$ — эксцентриситет.

Ссылки

• Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.
• Tutorial  (неопр.). AMSAT. Архивировано из оригинала 14 октября 2002 года.
• Orbits Tutorial  (неопр.). marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из оригинала 19 апреля 2021 года.