Теорема Лёвенгейма — Скулема

Теорема Лёвенгейма — Скулема
Названо в честь	Леопольд Лёвенгейм и Туральф Скулем
Изучается в	теория моделей
Дата открытия (изобретения)	1915

Теоремы Лёвенгейма — Скулема — несколько теорем теории моделей, утверждающих существование моделей разных мощностей для теорий первого порядка. Различаются следующие теоремы:

• Теорема Лёвенгейма — Скулема, слабый вариант — непротиворечивая теория первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную модель.
• Теорема Лёвенгейма — Скулема, сильный вариант (подмодельный вариант)
  • счётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную элементарную подмодель.
  • несчётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в языке $\Sigma$ имеет элементарную подмодель мощности меньшей или равной $\max(\aleph _{0},|\Sigma |)$.
• Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности — каждая нормальная бесконечная модель мощности $\kappa$ имеет нормальное элементарное расширение любой мощности, больше $\kappa$.

Для отличия первых трёх теорем от последней теоремы используется также название теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности. Оно может использоваться как для сильного варианта, так и для слабого . Теорему Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности также иногда называют теоремой Лёвенгейма — Скулема — Мальцева'.

Это утверждение впервые сформулировано и доказано в работе Леопольда Лёвенгейма 1915 года. То, насколько доказательство Лёвенгельма корректно и какую именно версию слабую или сильную оно доказывает — дискуссионный вопрос. Общепринятое доказательство сильной версии теоремы было получено Туральфом Скулемом в 1920 году, слабой версии — в 1922 году.

Слабая теорема Лёвенгейма — Скулема

Слабая версия теоремы Лёвенгейма — Скулема утверждает следующее:

Любая непротиворечивая теория первого порядка со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную модель.

Данная теорема не требует аксиомы выбора и может быть доказана в ZF. Её можно доказать при помощи обычного доказательства Хенкина существования модели, наблюдая за мощностью получаемой модели и следя за тем, чтобы нигде не использовалась аксиома выбора.

Стоит понимать, что в приведённой формулировке под словом модель понимается не обязательно нормальная модель. Нормальной счётной модели у такой теории может не быть. К примеру, если в теории есть теорема $\forall x\ \forall y\ x=y$, то любая её модель будет иметь мощность $1$. Для нормальных моделей слабая теорема Лёвенгейма — Скулема модифицируется так:

Любая непротиворечивая теория первого порядка с равенством со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную или конечную нормальную модель.

Эта версия теоремы также может быть доказана в ZF; для её доказательства достаточно взять счётную модель из утверждения выше и факторизовать её по отношению равенства.

Из слабой теоремы Лёвенгейма — Скулема следует такое контринтуитивное на первый взгляд утверждение, как существование счётной модели ZF (в случае её непротиворечивости). Это утверждение называется парадоксом Скулема.

Сильная теорема Лёвенгельма — Скулема

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности встречается в двух вариантах: для не более чем счётной сигнатуры и для любой сигнатуры. Первый вариант частный случай второго.

Счётная или конечная сигнатура

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для счётной или конечной сигнатуры утверждает следующее:

У любой бесконечной модели теории первого порядка над счётной или конечной сигнатурой есть счётная элементарная подмодель.

Это утверждение обозначается LS. Данная теорема уже не может быть доказана в ZF, она требует дополнительно аксиому зависимого выбора. Более того, сильная теорема Лёвенгейма — Скулема для счётной сигнатуры в ZF эквивалентна аксиоме зависимого выбора, то есть $\operatorname {LS} \Leftrightarrow \operatorname {DC}$.

Набросок доказательства. Пусть структура ${\mathfrak {N}}$ является моделью множества формул счётного языка ${\mathcal {L}}$. Построим цепочку подструктур ${\mathfrak {M}}_{n}$, $1\leqslant n<\infty$. Для каждой формулы $\varphi (x)\in {\mathcal {L}}$ такой, что ${\mathfrak {N}}\models \exists x\,\varphi (x)$, обозначим через $b_{\varphi (x)}$ произвольный элемент модели, для которого ${\mathfrak {N}}\models \varphi (b_{\varphi })$. Пусть ${\mathfrak {M}}_{1}$ — подструктура ${\mathfrak {N}}$, сгенерированная множеством

$\left\{b_{\varphi (x)}\mid {\mathfrak {N}}\models \exists x\,\varphi (x)\right\}.$

Индуктивно определим ${\mathfrak {M}}_{n+1}$ как подструктуру, сгенерированную множеством

$\left\{b_{\varphi (x,\;{\bar {a}})}\mid {\mathfrak {N}}\models \exists x\,\varphi (x,\;{\bar {a}}),\;{\bar {a}}\in {\mathfrak {M}}_{n}\right\}.$

Так как количество формул счётно, каждая из подструктур ${\mathfrak {M}}_{n}$ счётна. Заметим также, что их объединение удовлетворяет критерию Тарского — Вота и, следовательно, является элементарной подструктурой ${\mathfrak {N}}$, что и завершает доказательство.

Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности в счётном варианте эквивалентна над ZF следующему утверждению: если $M$ некоторая бесконечная модель теории над счётной или конечной сигнатурой, $B$ её не более чем счётное подмножество, то существует счётная элементарная подмодель $M$, содержащая $B$.

Для случая нормальных моделей теорема может быть переформулирована следующим образом:

У любой бесконечной нормальной модели теории первого порядка с равенством над счётной или конечной сигнатурой есть счётная или конечная элементарная подмодель.

Эта формулировка также эквивалентна над ZF приведённой выше формулировке.

Произвольная сигнатура

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для произвольной сигнатуры утверждает следующее:

У любой бесконечной модели теории первого порядка, сигнатура которой имеет бесконечную мощность $\kappa$, есть элементарная подмодель мощности меньшей или равной $\kappa$.

Случай конечной сигнатуры уже рассматривался выше: там в качестве $\kappa$ просто берётся $\aleph _{0}$. Иногда, чтобы оба случая покрыть одним утверждением, разрешают сигнатуру любой мощности, а про элементарную подмодель говорят, что она имеет мощность меньшую или равную $\max {\aleph _{0},\kappa }$.

Данная теорема в полном объёме требует для доказательства аксиому выбора. Более точно: пусть $\mu$ — некоторый бесконечный кардинал. Обозначим за $\operatorname {LS} (\mu )$ следующее утверждение:

Для каждой бесконечной модели некоторой теории первого порядка, мощность сигнатуры которой меньше или равна $\mu$, существует элементарная подмодель, мощность которой меньше или равна $\mu$.

За $\operatorname {AC} _{\mu }$ обозначим аксиому выбора для семейств мощности $\mu$, за $\operatorname {AC} _{WO}$ — аксиому выбора для вполнеупорядочиваемых семейств, за $\operatorname {DC}$ — аксиому зависимого выбора. Тогда над ZF верны следующие эквивалентности:

• для любого алефа $\mu$ утверждение $\operatorname {LS} (\mu )$ эквивалентно конъюнкции $\operatorname {DC}$ и $\operatorname {AC} _{\mu }$;
• утверждение «для любого алефа $\mu$ выполняется $\operatorname {LS} (\mu )$» эквивалентно $\operatorname {AC} _{WO}$;
• утверждение «для любого бесконечного кардинала $\mu$ выполняется $\operatorname {LS} (\mu )$» эквивалентно полной аксиоме выбора.

Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности

Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности утверждает следующее:

Любая бесконечная нормальная модель мощности $\kappa$ теории первого порядка с равенством имеет нормальное элементарное расширение любой мощности большей $\kappa$.

Требование бесконечности изначальной модели здесь существенно: вновь пример теории с теоремой $\forall x\ \forall y\ x=y$. Такая теория будет иметь нормальную модель только мощности $1$. Однако если теория всё же имеет хоть какую-то бесконечную нормальную модель, то эту модель можно расширять до какой угодно мощности. Объединив теорему о повышении мощности с теоремой о понижении мощности, можно увидеть, что для теории, имеющей бесконечную модель, есть модели для любой бесконечной мощности, большей мощности сигнатуры.

Теорема Лёвенгейма — Скулема формулируется именно для нормальных моделей. Для произвольных (не обязательно нормальных) моделей утверждение тривиально: любую модель (даже конечную) можно повысить до любой большей мощности; достаточно просто один любой элемент скопировать нужное число раз и все его копии объявить равными относительно интерпретации предиката равенства. Так как модель не нормальная, от предиката равенства не требуется, чтобы он выполнялся только для равных элементов в модели.

См. также

• Парадокс Скулема

Литература

• Беклимишев Л. Д., Кузнецов С. Л., Яворская Т. Л. Обязательный спецкурс кафедры математической логики и теории алгоритмов  (рус.). https://homepage.mi-ras.ru/~sk/ (21 мая 2016). Дата обращения: 20 апреля 2024.
• Jane I. What Did Löwenheim Prove? (англ.) // Philosophia Mathematica : журнал. — 2005. — 1 February (vol. 11, iss. 13). — P. 91—106. — doi:10.1093/philmat/nki004.
• Smullyan R. M, Fitting M. Set Theory and the Continuum Problem. — Clarendon Press, 1996. — 288 с.
• Karagila A. Downward Löwenheim-Scolem Theorem and Choice Principles (англ.). https://aragila.org (31 марта 2014). Дата обращения: 20 апреля 2024.
• Găină D. Downward Löwenheim–Skolem Theorem and interpolation in logics with constructors (англ.) // Journal of Logic and Computation. — 2017. — September (vol. 27, no. 6). — P. 1717–1752. — doi:10.1093/logcom/exv018.
• Espindola C. L¨owenheim-Skolem theorems and Choice principles (англ.). Дата обращения: 24 апреля 2024.