Теорема Фенхеля о повороте кривой

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше $2{\cdot }\pi$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины $\ell$ не может быть меньше $2{\cdot }\pi /\ell$ .

Теорема доказана Вернером Фенхелем.^[1]

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем $2{\cdot }\pi$ лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше $2{\cdot }\pi$ , длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ подходит к своей хорде $[\gamma (a),\gamma (b)]$ $[\gamma (a),\gamma (b)]$ под углами $\alpha$ $\alpha$ и $\beta$ $\beta$ , то поворот кривой $\gamma$ $\gamma$ хотя бы $\alpha +\beta$ $\alpha +\beta$ .
- Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.