Теорема Шмидта

Теорема Шмидта - теорема о свойствах расширения локально конечной группы.

Формулировка

Расширение $G$ локально конечной группы $A$ посредством локально конечной группы $G/A$ само локально конечно.

Доказательство

Проверим, что каждое конечное множество $M$ из $G$ порождает конечную подгруппу. По условию факторгруппа $gr(M,A)/A$ конечна. Увеличив, если нужно, множество $M$ , будем считать, что оно замкнуто относительно обратных элементов и содержит представители всех смежных классов $gr(M,A)$ по $A$ . Тогда для любых $x,y\in M$ $xy={\overline {xy}}a_{x,y}$ , где ${\overline {xy}}\in M$ , $a_{x,y}\in A$ . Отсюда следует, что любое произведение элементов из $M$ можно записать как произведение некоторого элемента из $M$ на произведение нектороых $a_{x,y}$ . Так как всевозможные $a_{x,y}$ порждают конечную подгруппу, то всё доказано.