Теорема о кинетической энергии системы

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу).

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему материальных точек с массами $m_{i}$, скоростями ${\vec {v}}_{i}$ и кинетическими энергиями $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени $dt,$ будет выполняться

$dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.$

Учитывая, что ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ представляет собой ускорение i-ой точки ${\vec {a}}_{i}$, а ${\vec {v}}_{i}dt$ — перемещение той же точки $d{\vec {s}}_{i}$ за время $dt$, полученное выражение можно записать в виде:

$dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.$

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как $F_{i}$, получаем

$dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},$

а затем в соответствии с определением работы $dA_{i}$

$dT_{i}=dA_{i}.$

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

$dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.$

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми $t_{1}$ и $t_{2}$, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

$T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},$

где $T_{1}$ и $T_{2}$ — значения кинетической энергии системы в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

$W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},$

где $W_{1i}$ и $W_{2i}$ — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а $A_{pi}$ — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

$W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.$

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны, то

$\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).$

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

$T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})$

или, что то же самое

$T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.$

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы $T+W$ выполняется

$T+W=const.$

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии.

Случай системы с идеальными стационарными связями

Основной источник:

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает:

Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил

Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики $\delta {\vec {r}}_{k}$ на ${\vec {v}}_{k}dt$, получаем:

$(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\vec {v}}_{k}dt$

или

$(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt$

Поскольку $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$, получаем окончательно:

$dT=d'A^{ae}+d'A^{ai}$

Верхние значки в этих выражениях обозначают: $^{a}$ — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, $^{e}$ (от англ. external) и $^{i}$ (от англ. internal) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема об изменении количества движения системы