Течение Хеле-Шоу

Течение Хеле-Шоу определяется как течение жидкости или газа, происходящее между двумя параллельными плоскими пластинами, разделёнными узким зазором, удовлетворяющим определенным условиям. Оно названо в честь Генри Селби Хеле-Шоу, который изучал эту задачу в 1898 году. Различные проблемы механики жидкости можно аппроксимировать течениями Хеле-Шоу, поэтому исследование этих течений имеет важное значение. Аппроксимирование течением Хеле-Шоу особенно важно для микропотоков. Это связано с технологией производства, которая создает неглубокие плоские конфигурации, и обычно низкими числами Рейнольдса микропотоков.

Условия, которые должны быть выполнены, следующие:

${\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1$

где $h$ — ширина зазора между пластинами, $U$ — характерный масштаб скорости, $l$ — характерный масштаб длины в направлениях, параллельных пластине и $\nu$ — кинематическая вязкость. В частности, число Рейнольдса $Re=Uh/\nu$ не всегда должно быть малым, но может быть порядка единицы или больше, если оно удовлетворяет условию $Re\cdot (h/l)\ll 1$. С точки зрения числа Рейнольдса $Re_{l}=Ul/\nu$, основанном на $l$, условие становится $Re_{l}(h/l)^{2}\ll 1.$

Основное уравнение течения Хеле-Шоу идентично уравнению невязкого потенциального течения и течения жидкости через пористую среду (закон Дарси). Таким образом, это позволяет визуализировать этот тип потока в двух измерениях.

Математическая формулировка течений Хеле-Шоу

Схематическое описание конфигурации Хеле-Шоу.

Пусть $x$, $y$ — направления, параллельными плоским пластинам, а $z$ — перпендикулярное направление, также $h$ — высота зазора между пластинами (от $z=0$ до h ) и $l$ — соответствующий характерным масштаб длины в плоскости $Oxy$. При указанных выше ограничениях несжимаемые уравнения Навье–Стокса в первом приближении принимают вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}$

где $\mu$ — это динамическая вязкость. Эти уравнения аналогичны уравнениям пограничного слоя, за исключением того, что в них отсутствуют нелинейные члены. В первом приближении, после наложения граничных условий непроскальзывания при $z=0,h$, имеем решение:

${\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}$

Уравнение для $p$ получается из уравнения непрерывности. Интегрируя уравнение неразрывности по всему каналу и накладывая граничные условия непроникновения через стенки, имеем

$\int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,$

что приводит к уравнению Лапласа:

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.$

Это уравнение дополняется соответствующими граничными условиями. Например, граничные условия непроникновения на боковых стенках становятся следующими: ${\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0$, где $\mathbf {n}$ — единичный вектор, перпендикулярный боковой стенке (обратите внимание, что на боковых стенках нельзя наложить граничные условия непроскальзывания). Границы также могут быть областями, подверженными постоянному давлению, в этом случае уместно граничное условие Дирихле для $p$. Аналогично можно использовать и периодические граничные условия. Можно также отметить, что вертикальная составляющая скорости в первом приближении равна

$v_{z}=0$

что следует из уравнения непрерывности. В то время как величина скорости ${\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ варьируется в $z$ направление, направление вектора скорости $\operatorname {arctg} (v_{y}/v_{x})$ не зависит от направления $z$, то есть закономерности обтекания на каждом уровне схожи. Вектор завихренности ${\boldsymbol {\omega }}$ имеет компоненты

$\omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.$

Поскольку $\omega _{z}=0$, модели обтекания в плоскости $Oxy$ соответствует потенциальному потоку (безвихревому потоку). В отличие от потенциального потока, здесь циркуляция $\Gamma$ вокруг любого замкнутого контура $C$ (параллельно плоскости $Oxy$), независимо от того, охватывает ли она твёрдый объект или нет, равна нулю,

$\Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0$

где последний интеграл равен нулю, потому что $p$ является однозначной функцией, а интегрирование выполняется по замкнутому контуру.

Усреднённая по глубине форма

В канале Хеле-Шоу можно определить усреднённую по глубине версию любой физической величины, скажем, $\varphi$:

$\langle \varphi \rangle \equiv {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\varphi dz.$

Тогда двумерный вектор скорости, усредненный по глубине $\mathbf {u} \equiv \langle \mathbf {v} _{xy}\rangle$, где $\mathbf {v} _{xy}=(v_{x},v_{y})$, удовлетворяет закону Дарси,

$-{\frac {12\mu }{h^{2}}}\mathbf {u} =\nabla p\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Далее, $\langle {\boldsymbol {\omega }}\rangle =0.$

Ячейка Хеле-Шоу

Термин «ячейка Хеле-Шоу» обычно используется в случаях, когда жидкость вводится в неглубокую полость сверху или снизу, а также когда жидкость ограничена другой жидкостью или газом. Для таких течений граничные условия определяются давлениями и поверхностными натяжениями.

См. также

• Агрегация, ограниченная диффузией
• Теория смазки
• Уравнение тонкой пленки
• Сцепление Хеле-Шоу