Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора

Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с $n$ внешними фотонными линиями через функции Грина с $n-1$ внешней фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть $\Gamma _{\mu }$ и собственную энергию электрона $\Sigma$, имеет вид:

$\Gamma _{\mu }(p,p)=-{\frac {\partial }{\partial p^{\mu }}}\Sigma (p)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

где $p$ — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: $\delta m=0,\ Z_{1}=Z_{2}$ , где $\delta m,\ Z_{1},\ Z_{2}$ — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.

В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий $\geqslant n$, включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательные поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:

$\int \exp \left[i\int \left({\mathcal {L}}(A)+{\frac {1}{2\alpha }}(\partial _{\mu }A_{\mu })^{2}+{\mathcal {L}}_{c}+I_{\mu }^{a}A_{\mu }^{a}\right)dx\right]\left[-{\frac {1}{\alpha }}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}(x)\right.+$

$+\left.\int {\bar {c}}^{a}(x)I_{\mu }^{b}\left(\partial _{\mu }c^{b}(y)gt^{bcd}A_{\mu }^{c}(y)c^{d}(y)\right)dy\right]dAd{\bar {c}}dc=0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

где ${\mathcal {L}}(A)$ — классический лагранжиан поля Янга — Миллса $A_{\mu }^{a}$, ${\mathcal {L}}_{c}$ — лагранжиан духов Фаддеева — Попова $c$, ${\bar {c}}$; $I$ — ток внешних источников, $g$ — константа взаимодействия, $t^{bcd}$ — структурные константы калибровочной группы.

Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: $\delta m=0,\ Z_{1}Z_{2}^{-1}={\tilde {Z}}_{1}{\tilde {Z}}_{2}^{-1},\ Z_{4}=Z_{1}^{2}Z_{2}^{-1}$, где $\delta m$ — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, $Z_{2},Z_{1},Z_{4}$ — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а ${\tilde {Z}}_{1}{\tilde {Z}}_{2}$ — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.

Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ. Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.

Литература

• Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
• А. А. Славнов. Тождества Уорда в калибровочных теориях // ТМФ. — 1972. — Т. 10. — С. 153—161. — doi:10.1007/BF01090719.
• Taylor, J. C. Ward Identities and Charge Renormalization of the Yang-Mills Field // Nucl. Phys.. — 1971. — Т. B33. — С. 436—444. — doi:10.1016/0550-3213(71)90297-5.
• Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.

Ссылки

• Slavnov-Taylor identities  (англ.)