Уравнение Лондонов

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

${\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,$

где $\mathbf {j}$ — плотность тока, $\mathbf {B}$ — магнитная индукция, $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi nq^{2}}}$, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения

При помощи уравнения Максвелла $\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}$ можно записать уравнение Лондона в виде

$\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} '=0,$

где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера — Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт

$\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} =0.$

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими $\lambda$, есть

$\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda }},$

где $\mathbf {B} (\xi )$ — индукция на глубине $\xi$ под поверхностью. Параметр $\lambda$ имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину $\lambda$. Для металлов $\lambda \sim 10^{-2}$ мкм.

Природа сверхпроводимости

Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал $\mathbf {A}$, где $\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B}$, используя калибровку $\operatorname {div} \mathbf {A} =0$ и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

${\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.$

В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением

$\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)$.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

${\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} \right)=0.$

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом $\mathbf {P} =0$. При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов

Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид

$nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,$

где $n$, $\mathbf {v}$, $m$ — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно$\mathbf {j} =ne\mathbf {v}$, получим первое уравнение Лондонов:

$\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.$

Второе уравнение Лондонов (вывод)

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$

для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

$\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2},$

где $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

Также объёмная плотность магнитной энергии равна ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$, тогда свободная энергия может быть записана в виде ($F_{0}$ — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:

$F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2}]\,dV.$

Первая вариация по полю равна

$\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {rot} \mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname {div} [\operatorname {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.$

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

$\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} =0,$

что вместе с выражением для векторного потенциала $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2}}}\mathbf {A}$, первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов $\operatorname {div} (\mathbf {A} )=0$, $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$ даёт искомое уравнение:

${\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.$

См. также

• Уравнение Пиппарда

Литература

• Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.