Участник:Максим Герцинский/Проверка на точку перегиба

Проверка второй частной производной или проверка на точку перегиба представляет собой метод Анализа функций многих переменных, используемый для определения того, является ли критическая точка функции локальным минимумом, максимумом или седловой точкой.

Проверка

 

Функции от двух переменных

Пусть f(x, y) — дифференцируемая функция двух вещественных переменных, чьи вторые частные производные существуют и непрерывны. Матрица Гессе H функции f — это матрица частных производных f размера 2 × 2:$$H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.$$Пусть D(x, y) будет являться определителем$$D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}.$$матрицы H. Предположим, что (a, b) является точкой экстремума f (то есть f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0). Тогда проверка второй частной производной утверждает следующее:

1. Если D(a, b) > 0 и f_xx(a, b) > 0, то (a, b) является локальным минимумом f .
2. Если D(a, b) > 0 и f_xx(a, b) < 0, то (a, b) является локальным максимумом f .
3. Если D(a, b) < 0, то (a, b) является седловой точкой f .
4. Если D(a, b) = 0, то проверка второй производной не дает определить, является ли точка (a, b) точкой минимума, максима или седловой точкой.

Иногда используются другие эквивалентные версии проверки. В случаях 1 и 2 требование положительности f_xx f_yy − f_xy² в точке (x, y) означает, что f_xx и f_yy имеют там один и тот же знак. Следовательно, второе условие, чтобы f_xx было больше (или меньше) нуля, может эквивалентно выражаться другим способом: f_yy или tr(H) = f_xx + f_yy больше (или меньше) нуля в этой точке.

Функции от многих переменных

Для функции f от трех и более переменных существует обобщение вышеприведенного правила. В этом контексте вместо изучения определителя матрицы Гессе нужно смотреть на ее собственные значения в критической точке. Следующая проверка может быть применена в любой критической точке a, для которой матрица Гессе невырождена :

1. Если гессиан положительно определен (эквивалентно, имеет все собственные значения положительные) в a, то f достигает локального минимума в a .
2. Если гессиан отрицательно определен (эквивалентно, имеет все собственные значения отрицательные) в a, то f достигает локального максимума в a .
3. Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то a является седловой точкой для f (и на самом деле это верно, даже если a вырождено).

В тех случаях, которые не перечислены выше, тест не дает сделать заключение о данной точке.

Для функций от трех и более переменных определитель Гессиана не дает достаточно информации для классификации критической точки, поскольку количество совместно достаточных условий второго порядка равно количеству переменных, а условие знака для определителя Гессиана — лишь одно из условий. Стоит обратить внимание, что в случае с одной переменной условие Гессе просто является обычной проверкой на точку перегиба.

В случае двух переменных $D(a,b)$ и $f_{xx}(a,b)$ являются главными минорами Гессиана. Первые два перечисленных выше условия про знаки этих миноров являются условиями положительной или отрицательной определенности Гессиана. Для общего случая произвольного числа n переменных существует n условий знака на n главных минорах матрицы Гессе, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности матрицы Гессе (критерий Сильвестра): для локального минимума все главные миноры должны быть положительными, в то время как для локального максимума миноры с нечетным количеством строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным количеством строк и столбцов должны быть положительными.

Примеры

Критические точки $f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})$ -
максимумы (красные) и седловые точки (синие).

Чтобы найти и классифицировать критические точки функции

$z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})$ ,

сначала нужно найти частные производные

${\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)$ и ${\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)$,

приравнять к нулю, и решить полученную систему уравнений, чтобы найти четыре критические точки

$(0,0),(0,-1),(1,-1)$ и $\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)$.

Чтобы классифицировать критические точки, мы исследуем значение определителя D (x, y) Гессиана функции f в каждой из четырех критических точек. Имеется

${\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}$

Теперь подставляя все различные найденные критические значения, чтобы пометить их; получается

$D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.$

Таким образом, критерий второй частной производной показывает, что f (x, y) имеет седловые точки в точках (0, −1) и (1, −1) и имеет локальный максимум в точке $\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)$ поскольку $f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0$ . В оставшейся критической точке (0, 0) проверки второй производной недостаточно, и необходимо использовать тесты более высокого порядка или другие инструменты, чтобы определить поведение функции в этой точке. (На самом деле можно показать, что f принимает как положительные, так и отрицательные значения в небольших окрестностях вокруг (0, 0), и поэтому эта точка является седловой точкой f).

Использованная литература

• James Stewart. Multivariable Calculus: Concepts & Contexts. — Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0-534-41004-9.

Внешние ссылки

• Относительные минимумы и максимумы - Математические онлайн-заметки Пола - Заметки Calc III (Университет Ламара)
• Weisstein, Eric W. Second Derivative Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.