Участник:Максим Герцинский/Производная параметрически заданной функции

Производная параметрически заданной функции — это производная зависимой переменной по отношению к другой зависимой переменной, которая берётся, когда обе эти переменные зависят от независимой третьей переменной, обычно рассматривается как «время» (то есть, когда зависимыми переменными являются x и y и они задаются параметрическими уравнениями относительно t).

Первая производная

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ — координаты точек кривой, выраженные как функции от переменной t:

$y=y(t),\quad x=x(t).$

Первая производная функции $y(x)$, получаемой из этих параметрических уравнений, равна

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},$

где через ${\dot {x}}(t)$ обозначена частная производная от x по t. Действительно, используя правила дифференцирования сложной функции, можно получить:

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

Разделив обе части на ${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$, получается уравнение, приведенное выше.

Все эти частные производные — ${\frac {dy}{dt}},{\frac {dx}{dt}}{\text{и}}{\frac {dy}{dx}}$ — сами являются функциями от t и поэтому могут быть записаны более явно, например, ${\tfrac {dy}{dx}}(t).$

Вторая производная

Вторая производная функции $y(x)$, получаемой из параметрических уравнений, определяется выражением$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}$$и получается путем использования правила дифференцирования частного для производных. Последний результат полезен при вычислении кривизны.

Пример

Например, можно рассмотреть набор функций, где:

$x(t)=4t^{2}$, $y(t)=3t.\,$

Дифференцирование обеих функций по t приводит к следующему результату:

${\frac {dx}{dt}}=8t$, ${\frac {dy}{dt}}=3,$

соответственно. Подставляя полученное в формулу параметрической производной, получается:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},$

где ${\dot {x}}$, а также ${\dot {y}}$ рассматриваются как функции от t.

См. также

• Производная (обобщения)

Ссылки

• Derivative for parametric form (англ.) на сайте PlanetMath.
• Harris, John W. 12.2.12 Differentiation of functions in parametric representation // Handbook of Mathematics and Computational Science / John W. Harris, Horst Stöcker. — Springer Science & Business Media, 1998. — P. 495–497. — ISBN 0387947469.

[[:Категория:Дифференциальное исчисление]]